第一章概率论的基本概念。
一、事件间的关系、运算及其性质。
2．与互不相容：，与互为对立：且，与相互独立：．
例1．设为两个事件，则下列结论正确的是 [
ab)．cd)．
例2．设事件满足，则下列结论正确的是 [
a)． b)． c)． d)．
例3．设事件同时发生必导致事件发生， 则必有 [
ab)．cd)．
例4．设随机事件满足：，则 [
a)互为对立事件b)互不相容。
c)一定为必然事件d)不一定为必然事件．
二、概率的公式与性质。
5．若与相互独立，则。
1)与，与，与相互独立；
6．全概与逆概公式：设为样本空间的一个划分，则。
例1．设事件与互不相容， 且，，则必有。
ab)．cd)．
例2．设，则___
例3．设随机事件满足，则事件与[ ]
a) 互不相容． (b) 相互独立． (c) 互为对立． (d)包含．
例4．设为随机事件，且，求．
例5．设为随机事件，已知，求．
例6．一袋中装有2个红球，4个白球，现从中任取2个球，则在这2个球中恰好。
有1个红球1个白球的概率是。
例7．设一箱产品共有80件，其中次品有10件，现有一顾客从中随机买走10件，
则下一顾客买一件产品买到次品的概率为。
例8．将4个球随机地放入5个杯子，则杯子中球的个数的最大值为3的概率。
为 __例9．规定比赛用过的球为旧球．现在有10只球，其中4只是旧球，6只是新球．
第一次从10只球中任取一只用于比赛，赛后放回．第二次从10只球中任取两只。
用于比赛。 求：
1) 在第一次取得新球的条件下，第二次取得都是新球的概率；
2) 第二次取得都是新球的概率．
例10．有两箱同种类的零件，第一箱装40只，其中15只一等品；第二箱装30只，其中10只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取一个零件， 检查后发现该。
零件是一等品，求该零件是从第二箱中取出的概率．
第。二、三章随机变量及其分布。
一、概率分布的概念与性质。
例1．设连续型随机变量的分布函数为，则。
例2．设随机变量的概率密度为，且，求常数的值．
二、常见的重要分布。
1．二项分布：，．
2．泊松分布：，．
3．均匀分布：，．
二维均匀分布：，．
4．指数分布：，5．正态分布：，．
1) 若，则，．
(2) 若，则，3) 若服从正态分布，则服从正态分布．
(4) 若与相互独立且都服从正态分布，则服从正态分布．
5) 若，则。
与相互独立与不相关．
6) 若与相互独立且都服从正态分布，则服从二维正态分布．
例1．设随机变量，则概率的值 [
(a) 与有关，但与无关b) 与无关，但与有关．
c) 与和均有关d) 与和均无关．
例2．设随机变量与相互独立且都服从正态分布，则在下列随机变量中， 服从标准正态分布的是 [
(a)． b)． c)． d)．
例3．设随机变量与相互独立，且，则服从的分布为。
例4．设随机变量与相互独立，且，，则 [
(ab)．cd)．
例5．设随机变量，且，求．
例6．设随机变量服从指数分布，且，则。
例7．某种型号灯泡的使用寿命服从指数分布，其平均寿命为1000小时，求3个这种型号的灯泡使用了800小时后至少有2个仍可继续使用的概率．
例8．设二维随机变量的联合概率密度为。
则常数___
三、一维随机变量的概率分布。
设随机变量，可导且，则是连续型随机变量，其概率密度为。
其中，，是的反函数．
例1．某人进行射击，共有5发子弹，每次击中的概率为0.9，如果击中就停止射击，否则直到子弹耗尽为止．求耗用子弹数的分布律．
例2．设随机变量，求：
(1)的分布函数；
2)的概率密度；
例3．设随机变量的概率密度为，求的概率密度．
例4．设随机变量的概率密度为，且，是。
的分布函数，则对任意实数， [
(ab)．cd)．
四、二维随机变量的概率分布。
1．联合分布与边缘分布。
2．若与相互独立，则有，．
3．的分布。
4．与的分布。
设随机变量与相互独立，则有。
例1．设二维离散型随机变量的分布律为，求：(1) 常数的值； (2)关于和的边缘分布律．
例2．设二维随机变量的概率密度为，求：
(1) 常数的值； (2) 边缘概率密度．
例3．设随机变量与相互独立，且，求随机变量的概率密度．
例4．设二维随机变量的联合概率密度为。
求函数的分布函数与概率密度．
例5．设随机变量与相互独立，服从同一分布，且的分布律为。
求的分布律．
例6．在一箱子中装有10只电子器件，其中2只是次品，在箱中取两只电子器件，每次任取一只，取后不放回，令：，＝求和的联合分布律．
例7．设随机变量与相互独立，求的联合概率密度与概率．
五、随机变量的独立性。
与相互独立。
离散型）连续型）．
1．若与相互独立，则与相互独立；
2．若相互独立，则。
与相互独立，其中为连续函数．
例1．已知随机变量的联合概率密度函数为：
(1) 问和是否独立？ (2) 求概率．
例2．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.5，0.8，今各投3次，求两人投中次数相等的概率．
例3．设随机变量与相互独立，且，求．
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