2012届高三数学综合练习（ 八 ） 姓名
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．
1.若（i是虚数单位）是实数，则实数的值是1
2.某射击运动员在四次射击中打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 . 1
3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为___
4.已知直线=与直线平行，则实数的值为1
5.函数的最大值为1
6.设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：
若∥且∥，则∥；
若且，则∥；
若，则一定存在平面，使得；
若，则一定存在直线，使得。
上面命题中，所有真命题的序号是。
7.一个算法的流程图如图所示，则输出的s值为 . 15
8.在△中，角所对的边长分别为。若，则角b值为。
或。9.已知数列的首项，且，则 .
10.以椭圆（）的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交与两点，已知△是正三角形，则该椭圆的离心率是
11. 若正方形边长为1，点**段上运动，则的取值范围是。
12. 已知定义在上的函数若关于的方程恰有5个不同的实数解：，则。
13.若不等式对于任意正实数总成立的必要不充分条件是，则正整数可取的值是1或2
14. 设函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．第15—17题每小题14分，第18—20题每小题16分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为， =2，设。
1）用表示；
2）求的最小值。
解：（1）在中，
由正弦定理可知：，；
当时，即时， .
16. 如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为的菱形，，是中点，截面交于．
1）求证：；
2）求证：⊥平面；
3）求三棱锥的体积．
证：（1）∵，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴．
2）取的中点，连结，，，和都是正三角形，∴，又，∴平面，又平面，∴，是中点，∴，又，∴⊥平面．
3）∵侧面底面，侧面底面，．∴底面．∵是边长为2的正三角形，∴，是边长为2的正三角形，∴，三棱锥的体积．
17. 某厂家拟在2023年举行**活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年**费用万元满足（为常数），如果不搞**活动，则该产品的年销售量是1万件。 已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售**定为每件产品年平均成本的1.
5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括**费用）．
1）将2023年该产品的利润y万元表示为年**费用万元的函数；
2）该厂家2023年的**费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（1）由题意可知，当时，，∴即，∴，每件产品的销售**为元．∴2023年的利润．
2）∵时，．∴当且仅当，即时，．
答：该厂家2023年的**费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
18. 已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为．
1）求椭圆的标准方程；
2）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；
解：（1）双曲线的左右焦点为即的坐标分别为．所以设椭圆的标准方程为，则， 且，所以，从而，所以椭圆的标准方程为．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
2）设则，即 ．
所以的值与点的位置无关，恒为．同理可得：椭圆的标准方程为时，．
19.设数列是公差不为0的等差数列，为其前项和，数列为等比数列，且，，．
1）求数列和的通项公式及；
2）设数列满足，问当为何值时，取得最大值？
解：（1）解：设数列的公差为，数列的公比为．
则，,．从而由 ，得：．
消去得，，解得：或．
代入得或，因为，所以舍去．所以．所以，．
假设最大，因为，所以 ，．
所以由最大，得，即：．
化简得解得：
即：当时，最大．
20.已知函数，（为常数）．
1）函数的图像在点（）处的切线与的图像相切，求实数的值；
2）设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；
3）若，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数都有||>成立，求的取值范围．
解：（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，
由得，由，得。
2）因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要，解得，所以b的取值范围
3）不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，当时，函数在区间上是减函数，所以，所以等价于．
即．等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立．
等价于在区间上恒成立．
所以，又，所以．
高三寒假作业学生版
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