一．选择题：
1.若条件，条件则是的（ ）
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件 c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
abcd．
3．在各项都为正数的等比数列中，首项是，前三项和为21,则( )
4．已知函数上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
a． bcd．
5．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任班长，其中至少有1名女生当选的概率是( )
abcd．
6.设是方程的解，则属于区间。
a. （0，1） b. （1，2） c. （2，3d.（3，4）
7.若，则=（
a.1b.0c.-1d.2
8．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示。 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水。则一定能确定正确的论断是 （
abcd．①②
二．填空题：本大题共9个小题，分必做题和选做题，每小题5分，共30分．
必做题：考生必须作答第9至第13题．
9．已知i， j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j， b = i + j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是。
10．在直角坐标平面内，由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是。
11．在如下程序框图中，输入，则输出的是。
12．f1、f2是椭圆的左、右两焦点，p为椭圆的一个顶点，若△pf1f2是等边三角形，则a2
13.不等式：的解集为。
选做题：从第两道题中选做一题，两题都答的只计算第一题的得分。
14．极坐标方程分别为的两个圆的圆心距为。
15．如图，是半圆的直径，在半圆上，于，且，设，则＝ .
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．(本题满分12分)已知函数f (x) =sin( x +)sin (x ) cosx + a的最大值为1．
(1) 求常数a的值； (2) 求使f (x)≥0成立的x的取值集合； (3) 若 x∈[0，]，求函数的值域．
17. (本题满分12分)如图所示， 有两个独立的转盘、.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为、、.
用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，则这次结果无效，重新开始），记转盘指针对的数为，转盘指针对的数为。设的值为，每转动一次则得到奖励分分。
ⅰ）求<2且》1的概率；
(ⅱ)某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？
18．（本题满分14分）
如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
ⅱ） 求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
19．已知数列满足：且．
ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；
ⅱ）设，求数列的前项和；
20．（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线c的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知c的一个焦点与a关于直线y=x对称。
1）求双曲线c的方程；
2）若q是双曲线c上的任一点，f1、f2为双曲线c的左、右两个焦点，从f1引∠f1qf2的平分线的垂线，垂足为n，试求点n的轨迹方程。
3）设直线y=mx+1与双曲线c的左支交于a、b两点，另一直线l经过m（－2，0）及ab的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。
21．（本题满分分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
ⅰ）设，试求函数的表达式；
ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
ⅲ）在（ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值．
数学答案及评分标准。
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．
9． ；10．； 11． sinx ； 12．__12 ;
三、解答题。
16. （本小题满分12分）
解：(1) f (x)=2sin( x +)a3分。
由2+a=1得a= 14分。
2)由f (x)≥0得sin( x5分。
则7分。{x|2k≤x≤2k+， k∈z8分。
3) x∈[09分。
则－≤sin( x +)111分。
故值域 y[2, 112分。
17．（本小题满分12分）
解：（ⅰ由几何概率模型可知：p（=1）=、p（=2）=、p（=3）=；
p（=1）=、p（=2）=、p（=32分。
则p（<2）= p（=1）=，p（>1）= p（=2）+ p（=3）=+
所以p（<2且》1）= p（<2）
p（>16分。
ⅱ）由条件可知的取值为. 则的分布列为：
10分。他平均一次得到的钱即为的期望值：
所以给他玩12次，平均可以得到分12分。
18. （本小题满分14分）
解：（ⅰ设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．
是正三角形，．
又底面侧面，且交线为．
侧面．连，则直线与侧面所成的角为． …2分。
在中，，解得3分。
此正三棱柱的侧棱长为4分。
注：也可用向量法求侧棱长．
ⅱ）解法1：过作于，连，侧面．
为二面角的平面角6分。
在中，，又。
又。在中8分。
故二面角的大小为9分。
解法2：（向量法，见后）
ⅲ）解法1：由（ⅱ）可知，平面，平面平面，且交线为，过作于，则平面10分。
在中12分。
为中点，点到平面的距离为14分。
解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．
解法3：（思路）等体积变换：由可求．
解法4：（向量法，见后）
题（ⅱ）的向量解法：
ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．
则．设为平面的法向量．
由得．取6分。
又平面的一个法向量7分。
……8分。
结合图形可知，二面角的大小为9分。
ⅲ）解法4：由（ⅱ）解法2， …10分。
点到平面的距离＝．14分。
19.（本小题满分14分）
解：（ⅰ经计算3分。
当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，5分。
当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，7分
因此，数列的通项公式为8分。9分
（2）10分。
1）、（2）两式相减，得
………12分。
14分 20．（本小题满分14分）
解：（1）设双曲线c的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
该直线与圆相切，双曲线c的两条渐近线方程为2分。
故设双曲线c的方程为，又∵双曲线c的一个焦点为，∴双曲线c的方程为4分。
2）若q在双曲线的右支上，则延长qf2到t，使|qt|=|of1|
若q在双曲线的左支上，则在qf2上取一点t，使|qt|=|qf1|
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