寒假作业(十四) 直线与圆(注意命题点的区分度)
一、选择题。
1．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )
a．1b．c．3 d．4
解析：选b ∵＝m＝2，两平行线之间的距离d＝＝.
2．曲线y＝(x＋a)ex在x＝0处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a的值为( )
a．－1 b．0
c．1 d．2
解析：选b 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(1＋x＋a)ex，所以曲线y＝(x＋a)ex在x＝0处的切线的斜率k＝y′x＝0＝1＋a，又切线与直线x＋y＋1＝0垂直，故1＋a＝1，解得a＝0.
3．已知直线l过圆(x－2)2＋y2＝4的圆心，且与直线x－y＋1＝0平行，则直线l的方程是( )
a．x－y－2＝0 b．x＋y－2＝0
c. x－y－2＝0 d. x＋y－2＝0
解析：选a 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)．直线x－y＋1＝0的斜率为，且直线l与该直线平行，故直线l的斜率为，直线l的方程为y＝(x－2)，即x－y－2＝0.
4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
a．第一象限 b．第二象限。
c．第三象限 d．第四象限。
解析：选d 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，所以2＋(y－a)2＝－a2－3a，圆心坐标为，同时满足－a2－3a>0，解得－40，则该圆的圆心在第四象限．
5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆c与y轴交于a(0，－4)，b(0，－2)两点，则圆c的标准方程为( )
a．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 b．(x－2)2＋(y－3)2＝5
c．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 d．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：选d 法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，故解得故圆c的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
法二：利用圆心在直线2x－y－7＝0上来检验，只有d符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(2,3)均不符合题意，故选d.
6．已知a，b为圆c：(x－m)2＋(y－n)2＝9(m，n∈r)上两个不同的点，c为圆心，且满足|＋|2，则|ab|＝(
a．2 b．4
c. d．2
解析：选b ∵c为圆心，a，b在圆上，∴取ab的中点为o，连接co，有co⊥ab，且＋＝2，||又圆c的半径r＝3，|ab|＝2＝2×＝4.
7．已知两圆x2＋y2＝16和(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝(
a．2 b．3
c．4 d．5
解析：选b 由题意可知，切线、圆心的连线围成直角三角形，则(0－4)2＋(0＋3)2＝r2＋16，解得r＝3.
8．(2017·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为c，直线l过(0,3)与圆c交于a，b两点，若|ab|＝2，则直线l的方程为( )
a．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
b．3x＋4y－12＝0或x＝0
c．4x－3y＋9＝0或x＝0
d．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选b 圆c的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心c(1,1)，半径为2.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
9．(2018届高三·绥化三校联考)已知圆c1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆c2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈r且ab≠0，则＋的最小值为( )
a．2 b．4
c．8 d．9
解析：选d 圆c1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆c2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆c1和圆c2只有一条公切线，所以圆c1与圆c2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.
10．圆x2＋y2＝4与x轴相交于a，b两点，圆内的动点p使|pa|，|po|，|pb|(o为坐标原点)成等比数列，则·的取值范围为( )
a．[－1,0) b．[－2,0)
c．(－0] d．(－1,0]
解析：选b 由题意知，不妨设a(－2,0)，b(2,0)，p(x，y)，由|pa|，|po|，|pb|成等比数列，得·＝x2＋y2，即x2－y2＝2，故·＝(2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点p在圆o内，故由得y2<1.所以pa―→·pb―→的取值范围为[－2,0)．
11．已知a(0,3)，b，p为圆c：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△abp面积的最大值为( )
a. b.
c．2 d.
解析：选a 圆c的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，因为a(0,3)，b，所以|ab|＝＝3，直线ab的方程为x＋y＝3，所以圆心到直线ab的距离d＝＝.
又圆c的半径为1，所以圆c上的点到直线ab的最大距离为＋1，故(s△abp)max＝×(1)×3＝.
12．已知点a(－5,0)，b(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点m，n，使得△mab和△nab的面积均为5，则r的取值范围是( )
a．(2，) b．(2,5)
c．(1，) d．(1,5)
解析：选d 由题意可得|ab|＝＝5，根据△mab和△nab的面积均为5可得m，n到直线ab的距离均为2，由于ab的方程为＝，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线ab的距离为2，则圆心到直线ab的距离为＝r＋2，解得r＝1；若圆上只有3个点到直线ab的距离为2，则圆心到直线ab的距离为＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1,5)．
二、填空题。
13．已知点p(1，a)是圆c：x2＋y2－6x－4y＋4＝0内的一点，过点p的最短弦所在直线的方程是x＋2y－3＝0，则a
解析：圆c：x2＋y2－6x－4y＋4＝0的圆心为c(3,2)，由于过点p的最短弦与cp垂直，且过点p的最短弦所在直线的方程是x＋2y－3＝0，故kcp＝＝2，解得a＝－2.
答案：－214．(2017·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是___
解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
15．已知m，n是圆a：x2＋y2－2x＝0与圆b：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共点，则△bmn的面积为___
解析：由可得mn的方程为y＝x，再由可得m(0,0)，n(1,1)或m(1,1)，n(0,0)，所以|mn|＝，由圆b：x2＋y2＋2x－4y＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故圆心b(－1,2)到直线mn：
y＝x的距离d＝＝，所以△bmn的面积为××＝
答案：16．(2018届高三·湘中名校联考)已知m>0，n>0，若直线l：(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆c：(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是___
解析：因为m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心c(1,1)到直线l的距离d＝＝1，即|m＋n|＝，两边平方并整理得，m＋n＋1＝mn≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞
答案：[2＋2，＋∞
三、解答题。
17．已知圆c经过m(3，－3)，n(－2,2)两点，且在y轴上截得的线段长为4.
1)求圆c的标准方程；
2)若直线l∥mn，l与圆c交于点a，b，且以线段ab为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解：(1)由题意知直线mn的斜率为－1，则线段mn的垂直平分线的方程是y＋＝x－，即y＝x－1，所以圆心c的坐标可设为(a，a－1)，又圆c在y轴上截得的线段长为4，所以(a－3)2＋(a＋2)2＝12＋a2，解得a＝1，故圆c的标准方程为(x－1)2＋y2＝13.
2)设直线l的方程为y＝－x＋m，设a(x1，m－x1)，b(x2，m－x2)，联立方程消去y，得2x2－(2＋2m)x＋m2－12＝0，由δ>0，得m2－2m－25<0，x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，又由题意可知oa⊥ob，即koa·kob＝－1，所以·＝－1，即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，整理得m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3，经验证符合δ>0，所以直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.
18．已知曲线c上任意一点到原点的距离与到e(3，－6)的距离之比均为1∶2.
1)求曲线c的方程；
2)设点p(1，－2)，过点p作两条相异直线分别与曲线c相交于a，b两点，且直线pa和直线pb的倾斜角互补，求证：直线ab的斜率为定值．
解：(1)设曲线c上的任意一点为q(x，y)，由题意得＝，所以曲线c的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
2)证明：由题意知，直线pa和直线pb的斜率存在，且互为相反数，点p(1，－2)，故可设pa：y＋2＝k(x－1)，由。
得(1＋k2)x2＋2(1－k2－4k)x＋k2＋8k－3＝0，因为点p的横坐标1一定是该方程的解，故可得xa＝，同理，xb＝，所以kab＝＝
＝－，故直线ab的斜率为定值－.
19．(2017·郑州第一次质量**)已知坐标平面上动点m(x，y)与两个定点p(26,1)，q(2,1)，且|mp|＝5|mq|.
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