1.已知， 求
解 (1) 因为且与是不相容的， 故有。于是。
2. 观察某地区未来5天的天气情况， 记为事件： “有天不下雨”, 已知求下列各事件的概率：
1) 天均下雨； (2) 至少一天不下雨； (2) 至少一天不下雨；
解显然是两两不相容事件且 故 于是
记(1),(2),(3)中三个事件分别为则。
3. 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中， 其中一班4名， 二班5名， 三班6名， 求：
1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率；
2) 3名优秀生被分配到一个班级的概率。
解 15名优秀生分别分配给一班4名， 二班5名， 三班6名的分法有：
(种).1) 将3名优秀生分配给三个班级各一名， 共有3!种分法， 再将剩余的12名新生分配给一班3名， 二班4名， 三班5名， 共有 (种)分法。
根据乘法法则， 每个班级分配到一名优秀生的分法有：
(种),故其对应概率。
2) 用表示时间 “3名优秀生全部分配到班”
中所含基本事件个数。
中所含基本事件个数。
中所含基本事件个数。
由(1)中分析知基本事件的总数所以。
因为互不相容， 所以3名优秀生被分配到同一班级的概率为：
注： 在用排列组合公式计算古典概率时， 必须注意在计算样本空间和事件所包含的基本事件数时， 基本事件数的多少与问题是排列还是组合有关， 不要重复计数， 也不要遗漏。
4. 在1~2000的整数中随机地取一个数， 问取到的整数既不能被6整除， 又不能被8整除的概率是多少？
解设为事件 “取到的数能被6整除”, 为事件 “取到的数能被8整除”, 则所求概率为。
由于故得。由于故得。
又由于一个数同时能被6与8整除， 就相当于能被24整除。
因此， 由
于是所求概率为。
5. (讲义例3) 货架上有外观相同的商品15件， 其中12件来自产地甲， 3件来自产地乙。 现从15件商品中随机地抽取两件， 求这两件商品来自同一产地的概率。
解从15件商品中取出两件商品， 共有种取法， 且每种取件总数。
同理， 事件两件商品来自产地甲包含基本事件数
事件两件商品来自产地乙包含基本事件数
与互斥。 所以， 事件包含基本事件数。
于是， 所求概率
6. 设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率。
解以表示事件“透镜第次落下打破”,表示事件“透镜落下三次而未打破”. 为故有。
7. 已知， 试求。
解由乘法公式，
因此又因为所以从而。
8. 一袋中装有10个球， 其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率。
解这一概率， 我们前面在古典概型中已计算过， 这里我们用一种新的方法来计算。 将事件 “第二次取到的是黑球” 根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分， 分别计算其概率， 再求和。 记为事件 “第。
一、二次取到的是黑球”, 则有。
由题设易知。
于是。9. 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球。 今从甲、乙两袋中各取出一球， 设， ,试证两两独立但不相互独立。
证明由题意知，以分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数， 则样本空间为。
由于包含16个样本点， 事件包含4个样本点： 而都各包含4个样本点，所以。
于是有因此两两独立。
又因为所以而因故不是相互独立的。
10. 加工某一零件共需经过四道工序， 设第。
一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的， 求加工出来的零件的次品率。
解本题应先计算合格品率， 这样可以使计算简便。
设为四道工序发生次品事件，为加工出来的零件为次品的事件， 则为产品合格的事件， 故有。
11. (讲义例5) 某一城市每天发生火灾的次数x服从参数的泊松分布， 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。
解由概率的性质， 得。
12. 某公司生产的一种产品300件。 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少？
解把每件产品的检验看作一次伯努利试验， 它有两个结果： ,检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验。 用表示检验出的废品数， 则。
我们要计算。
对有于是， 得。
查泊松分布表， 得。
13.设， 求
解这里故。查表得 0.9772,14. 设， 求的密度函数。
解记的分布函数为则。
显然， 当时，
当时， 从而的分布函数为。
于是其密度函数为。
15 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次， 设为三次抛掷中正面出现的次数， 而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值， 求的概率分布及关于的边缘分布。
解可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
故的概率分布如右表。
从概率分布表不难求得关于。
的边缘分布。
从而得右表。
16 设二维随机变量的联合概率分布为。求及。解
二维连续型随机变量及其概率密度。
17.设的概率分布由下表给出，求。
表3—1b解
18 设随机变量且。
求a与b的值， 并求分布函数。
解由题意知。
解方程组得。
当时， 有
所以。19. 有2个相互独立工作的电子装置， 它们的寿命服从统一指数分布，其概率密度为。
若将这2个电子装置串联联接组成整机， 求整机寿命(以小时计)的数学期望。
解的分布函数为。
的分布函数为。
因而的概率密度为。
于是的数学期望为。
随机变量函数的数学期望。
20 设的联合概率分布为：
求。解要求和需先求出和的边缘分布。 关于和的边缘分布为。
则有。21. 设随机变量x在上服从均匀分布， 求。
及。解根据随机变量函数数学期望的计算公式， 有。
22. 设求。
解的概率密度为。
而故所求方差为。
23. 设随机变量服从指数分布， 其概率密度为。
其中求。解
于是。即有。
24. 设， 求。
解表示重伯努利试验中 “成功” 的次数。 若设。
则是次试验中 “成功” 的次数， 且服从分布。
故。由于相互独立， 于是
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