( 一 )
例1 设事件与互不相容，则【 】
例2 设为随机事件，且，则必有【 】
例3 对于任意两个事件，与不等价的是【 】
条件概率，乘法公式。
例4 设为随机事件，且，求。
例5 从数1,2,3,4中任取一个数，记为， 再从中任取一个数，记为， 求。
例6 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
1) 乙箱中次品件数为的概率；
2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例7 设袋中有1个红球、2 个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以分别表示所取得的红球、黑球与白球的个数。
1）求；2）求二维随机变量的概率分布。
事件的独立性、概率及其性质。
例8 对于任意二事件和，则【 】
若，则和一定独立； 若，则和有可能独立；
若，则和一定独立； 若，则和一定不独立。
例9 设三个事件两两独立，则相互独立的充分必要条件为【 】
与独立； 与独立；
与独立； 与独立。
例10 设两个相互独立的事件都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则 ．
古典概型中概率计算与事件独立性的概念。
例11 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： =则事件【 】
相互独立相互独立。
两两独立两两独立。
解】，故不成立，正确。又，得不成立，从而也不正确。
例12 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为【 】
（a）； b）； c）； d）
例13 进行一系列独立重复的试验，每次试验成功的概率为，求在成功2次之前已经失败3次的概率。
例14 在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。
解】利用几何概型计算。 图如下：
所求概率。例15 在区间（0，1）中随机地取两个数，则“两数之和小于”的概率为 。
二 )例1 设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是【 】
ab）；cd）．
例2 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足【 】
例3 设随机变量的概率为若使得，则的取值范围是 ．
解】当时，当时，当时，，故。
分布函数的基本性质。
例4 设随机变量的分布函数则【 】
解】泊松分布。
例5 设随机变量的分布为则。
例6 设随机变量服从参数为1的泊松分布，则。
正态分布。例7 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且。
则【 】a）； b）； c）； d）
解】由于，则，即，故，选(a)。
例8 设随机变量的分布函数则【 】
注】服从正态分布的随机变量的数学期望的应用。
例9 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于【 】
a ) b )；c )；d )
例10 设随机变量服从正态分布，且二次方程无实根的概率为，则 ．
例11 设随机变量服从参数为的指数分布，则= ．
服从指数分布随机变量的函数的数学期望。
例12 某工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从参数为4的指数分布．工厂承诺产品包换保修：设备**一年内(含一年)由于产品的质量原因而损坏，可以包换(调换一件厂方需花费300元)；设备**一年到三年内(含三年)由于产品的质量原因而损坏，可以保修(维修一件厂方需花费100元)；而**一件厂方赢利200元．试求**一件设备厂方净赢利的数学期望．
解设**一件设备厂方的净赢利．由于设备的寿命所以。
则的分布律为。
所以， (元) .
服从均匀分布随机变量的函数的数学期望和方差。
例13 游客在电视塔底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟，55分钟从底层起行．假设游客在早上八点的第分钟到达底层候车，且，求游客的候车时间的数学期望．
解由题意知，与的函数关系为。
例14 设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量。
则的方差 ．
随机变量的函数的概率密度和分布函数。
例15 随机变量的概率密度为。
)求y的概率密度。
例16 设随机变量的概率密度为：
是的分布函数。 求随机变量的分布函数。
对数正态分布。
例17 设，求的概率密度。
解 当时，显然，
当时，则。所以。
称服从参数为的对数正态分布．经计算得：
例18 某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品数为，求的数学期望和方差．
解】服从参数为的几何分布，即，随机变量的函数服从二项分布。
例19 设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望。
泊松分布，二项分布，全概率公式综合应用。
例20设某动物生下蛋个数服从参数为的泊松分布，若每个蛋能发育成小动物的概率为，且各蛋能否发育成小动物是彼此独立的，设表示后代的个数，求的概率分布．
与古典概型的概率计算有关的随机变量的数学期望。
例21 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
1) 乙箱中次品件数的数学期望；
2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例22设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是 （
ab）；cd）．
三 )例1 设某班车在起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，为中途下车的人数，求：
1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；
2）二维随机变量的概率分布。
例2 设袋中有1个红球、2 个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以分别表示所取得的红球、黑球与白球的个数。
1）求；2）求二维随机变量的概率分布。
例3 袋中装有６个球，其中红球１个，白球２个，黑球３个，现从袋中随机取２个球，记为取出红球的个数，为取出白球的个数。
1）求随机变量的概率分布；
2）求．例4设二维随机变量的概率分布为：
其中为常数，且，记，求。
1）的值；（2）的概率分布；（3）
例5 设随机变量与的概率分布分别为。
且，1）求二维随机变量的概率分布；
2）求的概率分布；
3）求与的相关系数。
已知二维（离散）随机变量联合概率分布，的函数与的函数的协方差计算。
例6 设随机变量和的联合概率分布为：
则和的协方差 ．
二维（连续型）随机变量联合概率分布、边缘概率分布、条件概率分布，的函数的概率分布，相关事件的概率。
例7 设二维随机变量(x,y)的概率密度为
则。例8 设二维随机变量的概率密度为。
求常数以及条件密度．
例9 设二维随机变量的概率密度为。
（1）求条件概率密度；
2）求条件概率。
例10 设二维随机变量的概率密度为。
1）求；2) 求的概率密度。
例11 设二维随机变量的概率密度为。
求：（1）的边缘概率密度；（2）的概率密度；
例12 随机变量的概率密度为。
为二维随机变量的分布函数，求 (1)的概率密度；
随机变量的两个函数，的联合概率分布计算及数字特征的计算。
例13 设随机变量在区间上服从均匀分布，令。
求 （1）的联合概率分布；（2）．
解】（1）例14 设随机变量相互独立，且，的概率分布为。
记为随机变量的分布函数，则的间断点的个数为【 】
例15 随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函。
数为【 】例16 设随机变量与相互独立，且与存在，记。
则【 】ab）；
cd）．例17设随机变量与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布。
例18 设二维随机变量的概率分布为。
已知随机事件与相互独立，则。
例19设随机变量x与y独立同分布，且x的概率分布为。
记，（1）求的概率分布；（2）求协方差。
设离散型随机变量和连续型随机变量独立，应用全概率公式计算的概率密度。
例20 设随机变量和独立，其中的概率分布为。
而的概率密度为，求随机变量的概率密度。
例21 设随机变量相互独立，的概率分布为，的概率密度为记，1）求；
2）求的概率密度．
例22 设二维随机变量服从正态分布，则 ．
例23 设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则【 】
和一定独立； 服从二维正态分布；
和未必独立服从一维正态分布。
例24 设二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充分必要条件为【 】
例25 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为。
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