2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编。
07立体几何。
三、解答题(第三部分)
51、(河南省开封市2012届高三年级第一次质量检)如图pa⊥平面abcd，四边形abcd是矩形，e、f分别是ab，pd的中点。
（1）求证：af//平面pce；
（2）若二面角p—cd—b为45°，ad=2，cd=3，求点f到平面pce的距离。
证：（1）取pc中点m，连me，mf
fm//cd，fm=，ae//cd，ae=
ae//fn，且ae=fm，即四边形afme是平行四边形。
ae//em，af平面pceaf//平面pce
解：（2）∵pa⊥平面ac，cd⊥ad，cd⊥pd
∠pda是二面角p—cd—b的平面角，∠pda=45°
△pad是等腰rt∠，而em//af。
又∵af⊥cd
af⊥面pcd，而em//af
em⊥面pcd
又em面pec，面pec⊥面pcd
在面pcd内过f作fh⊥pc于h则fh为点f到面pce的距离。
由已知pd=
△pfh∽△pcd
52、(河南省濮阳市2024年高三摸底考试)如图，在多面体abcde中，ae⊥面abc，bd∥ae，且ac＝ab＝bc＝bd＝2，ae＝1，f为cd中点．
1)求证：ef⊥面bcd；
2)求面cde与面abde所成的二面角的余弦值．
53、(河南省许昌市2024年上期末质量评估)如图，在正三棱柱abc－a1b1c1中，bb1＝bc＝2，且m是bc的中点，点n在cc1上．
ⅰ)试确定点n的位置，使ab1⊥mn；
ⅱ)当ab1⊥mn时，求二面角m－ab1－n的大小．
54、(黑龙江省哈尔滨九中2024年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面。
1）证明：点在平面上的射影为的中点；
2）求二面角的大小 ；
3）求点到平面的距离。
1）证明：过b1点作b1o⊥ba。∵侧面abb1a1⊥底面abc
a1o⊥面abc ∴∠b1ba是侧面bb1与底面abc倾斜角。
∠b1bo= 在rt△b1ob中，bb1=2，∴bo=bb1=1
又∵bb1=ab，∴bo=ab ∴o是ab的中点。
即点b1在平面abc上的射影o为ab的中点 ……4分。
（2）连接ab1过点o作om⊥ab1，连线cm，oc，oc⊥ab，平面abc⊥平面aa1bb1 ∴oc⊥平面aabb。
om是斜线cm在平面aa1b1b的射影 ∵om⊥ab1
ab1⊥cm ∴∠omc是二面角c—ab1—b的平面角。
在rt△ocm中，oc=，om=
∠omc=cosc+sin2
二面角c—ab1—b的大小为 ……8分。
（3）过点o作on⊥cm，∵ab1⊥平面ocm，∴ab1⊥on
on⊥平面ab1c。∴on是o点到平面ab1c的距离。
连接bc1与b1c相交于点h，则h是bc1的中点。
b与c1到平面acb1的相导。
又∵o是ab的中点 ∴b到平面ab1c的距离。
是o到平面ab1c距离的2倍。
是g到平面ab1c距离为 ……12分。
55、(黑龙江省哈师大附中2012届高三上期末)如图，正方形abcd中，ac∩bd＝o,po⊥平面abcd，po＝ad＝，点e在pd上，pe：ed=2：1。
（1）证明：pd⊥平面eac；
（2）求二面角a—pd—c的余弦值；
（3）求点b到平面pdc的距离。
解：（1）（2）∠cea为二面角a—pd—c的平面角，
（3）点b到平面pdc的距离为。
56、(湖北省八校高2012第二次联考)如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的大小．
解：（1）证明取sc的中点r，连qr, dr.
由题意知：pd∥bc且pd=bc;
qr∥bc且qp=bc,qr∥pd且qr=pd.
pq∥dr, 又pq面scd,pq∥面scd6分）
（2）法一：连接sp， ，12分）
2）法二：以p为坐标原点，pa为x轴，pb为y轴，ps为z轴建立空间直角坐标系，则s（），b（）,c（），q（）.
面pbc的法向量为（）,设为面pqc的一个法向量，由，cos，12分）
57、(湖北省三校联合体高2012届2月测试)如图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动。
（1）证明：d1e⊥a1d；
（2）当e为ab的中点时，求点a到面ecd1的距离；
（3）ae等于何值时，二面角d1—ec—d的大小为。
1）证明：连，在长方体abcd—a1b1c1d1中，为在平面的射影，而ad=aa1=1，则四边形是正方形，由三垂线定理得d1e⊥a1d ……3分。
2）解：以点d为原点，da为轴，dc为轴建立如图所示的直角坐标系。则。
、、则，设平面的法向量为。
记。点a到面ecd1的距离………7分。
3）解：设则，设平面的法向量为。
记。而平面ecd的法向量，则二面角d1—ec—d的平面角。
当ae=时，二面角d1—ec—d的大小为。……12分。
58、(湖北省鄂州市2024年高考模拟)(湖北省鄂州市2024年高考模拟)在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足（如图1）.将△aef沿ef折起到的位置，使二面角a1－ef－b成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）
（ⅰ）求证：a1e⊥平面bep；
（ⅱ）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；
（ⅲ）求二面角b－a1p－f的大小（用反三角函数表示）.
解：不妨设正三角形的边长为3，则。
1）在图1中，取中点，连结，则∵ ,而，即△
是正三角形。
又∵, 在图2中有， ,为二面角的平面角。
二面角为直二面角， ∴
又∵, 平面，即⊥平面。
2）由（1）问可知a1e⊥平面bep，be⊥ef,建立如图的坐标系，则ｅ（0，0，0），a1（0，0，1）b（2，0，0），f（0，0，）.在图１中，不难得到ｅf//ｄp且ｅf＝ｄp；ｄｅfp且ｄｅ＝fp
故点ｐ的坐标ｐ（1，，0），
不妨设平面a1bp的法向量，则。
令得 ∴故直线a1e与平面a1bp所成角的大小为。
（3）由（2）问可知平面a1bp的法向量，，
设平面aep的法向量，则。
令得故。显然二面角b－a1p－f为钝角故二面角b－a1p－f为。
方法**】本题属于翻折问题，在翻折前的图１中易证eｆ⊥ab，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐标系，利用空间向量求解。
技巧点拨】本题属于翻折问题，这是高考的热点题型。 求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：（1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；（3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化。
59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2012届三月综合测试)在四棱锥p—abcd中，底面abcd是a的正方形，pa⊥平面abcd，且pa=2ab
（ⅰ）求证：平面pac⊥平面pbd；
（ⅱ）求二面角b—pc—d的余弦值。
解：（ⅰ证明：∵pa⊥平面abcd ∴pa⊥bd
abcd为正方形 ∴ac⊥bd
bd⊥平面pac又bd在平面bpd内，平面pac⊥平面bpd 6分。
（ⅱ）解法一：在平面bcp内作bn⊥pc垂足为n，连dn，rt△pbc≌rt△pdc，由bn⊥pc得dn⊥pc；
∠bnd为二面角b—pc—d的平面角，在△bnd中，bn=dn=，bd=
cos∠bnd =
解法二：以a为原点，ab、ad、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面bcp内作bn⊥pc垂足为n连dn，rt△pbc≌rt△pdc，由bn⊥pc得dn⊥pc；
∠bnd为二面角b—pc—d的平面角。
设。10分。
12分。解法三：以a为原点，ab、ad、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作am⊥pb于m、an⊥pd于n，易证am⊥平面pbc，an⊥平面pdc，设。
二面角b—pc—d的平面角与∠man互补。
二面角b—pc—d的余弦值为 12分。
60、(湖北省黄冈中学2012届高三第一次模拟考试)四棱锥s—abcd中，底面abcd为平行四边形，侧面底面abcd. 已知。
1）证明；2）求直线sd与平面sab所成角的大小。
解法一：（1）作，垂足为o，连结ao，由侧面底面abcd，得底面abcd. 因为sa=sb，所以ao=bo. 又，故为等腰直角三角形， 由三垂线定理，得。
2）由（1）知，依题设，故，由，得所以的面积连结db，得的面积设d到平面sab的距离为h，由，得，解得。
设sd与平面sab所成角为，则所以直线sd与平面sab所成的角为。
解法二：（1）作，垂足为o，连结ao，由侧面底面abcd，得平面abcd. 因为sa=sb，所以ao=bo. 又，为等腰直角三角形，
如图，以o为坐标原点，oa为x轴正向，建立直角坐标系o—xyz， ，所以。
2）取ab中点e，. 连结se，取se中点g，连结og，
og与平面sab内两条相交直线se、ab垂直，所以平面sab.的夹角记为，sd与平面sab所成的角记为，则与互余。
所以直线sd与平面sab所成的角为。
61、(湖北省荆州市2012届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，点分别为的中点。
求证：；求直线与平面所成的角的大小；
立体几何解答题
1 如图所示，在三棱锥a boc中，oa 底面boc，oab oac 30 ab ac 4，bc 动点d 段ab上。1 求证 平面cod 平面aob 2 当od ab时，求三棱锥c obd的体积。2 如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点 1 求证 平面 2 求三棱锥的体积 3 已知直线 半径...
立体几何解答题
1.如图，直三棱柱abc a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 2 若ab bb1 2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值 如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac 30 bm ac交ac于点m，ea 平面abc，fc ea，ac 4，ea 3，f...
立体几何解答题
1 2007宁夏 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 证明 平面 求二面角的余弦值 2.2008宁夏卷同海南 如图，已知点p在正方体的对角线上，求dp与所成角的大小 求dp与平面所成角的大小 3.2010年全国新课标卷 如图，已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形，ab cd，ac ...