2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编。
07立体几何。
三、解答题(第二部分)
31、(福建省厦门市2012学年高三质量检查)如图，三棱锥p—abc中，pc⊥平面abc，pc＝ac＝2，ab＝bc，d是pb上一点，且cd⊥平面pab。
（1）求证：ab⊥平面pcb；
（2）求二面角c—pa—b的大小的余弦值。
（1）解：∵pc⊥平面abc，ab平面abc，pc⊥ab。
cd⊥平面pab，ab平面pab，cd⊥ab。
又pc∩cd＝c，ab⊥平面pcb。
（2）解法一：
取ab的中点e，连结ce、de。
pc＝ac＝2，∴ce⊥pa，ce＝
cd⊥平面pab，由三垂线定理的逆定理，得de⊥pa。
∠ced为二面角c—pa—b的平面角。
由（1）ab⊥平面pcb，∴ab⊥bc，又∵ab＝bc，ac＝2，求得bc＝
（2）解法二：
ab⊥bc，ab⊥平面pbc，过点b作直线l∥pa，则l⊥ab，l⊥bc，以bc、ba、l所在直线为x、y、
z轴建立空间直角坐标系（如图）。…6分。
设平面pab的法向量为。
得………8分。
设平面pac的法向量为，解得 ……10分。
………11分。
………12分。
（2）解法三：
cd⊥平面pab，∴是平面pab的一个法向量。
取ac中点f，∵ab＝bc＝，∴bf⊥ac，又pc⊥平面abc，有平面pac⊥平面abc，bf⊥平面pac，∴是平面pac的一个法向量。
………7分。
………9分。
………10分。
32、(福建省仙游一中2012届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形abcd和直角梯形acef所在的平面互相垂直，ec⊥ac，ef∥ac，ab＝，ef＝ec＝1，
求证：平面bef⊥平面def；
求二面角a－bf－e的大小。
解法1： ①证明： ∵平面acef⊥平面abcd，ec⊥ac，ec⊥平面abcd；连接bd交ac于点o，连接fo，正方形abcd的边长为，∴ac＝bd＝2；
在直角梯形acef中，∵ef＝ec＝1，o为ac中点，fo∥ec，且fo＝1；易求得df＝bf＝，de＝be＝，由勾股定理知 df⊥ef，bf⊥ef，∠bfd是二面角b－ef－d的平面角，由bf＝df＝，bd＝2可知∠bfd＝，平面bef⊥平面def ……6分）
取bf中点m，be中点n，连接am、mn、an，ab＝bf＝af＝，∴am⊥bf，又∵mn∥ef，ef⊥bf，∴mn⊥bf，∠amn就是二面角a－bf－e的平面角。
易求得，；在rt△中，可求得，在△中，由余弦定理求得，12分）
解法2：∵平面acef⊥平面abcd，ec⊥ac，∴ec⊥平面abcd；
建立如图所示的空间直角坐标系c－xyz，则。
, 2分)
设平面bef、平面def的法向量分别为。则。
由①③③解得，∴,4分），∴故平面bef⊥平面def………6分）
设平面abf的法向量为，∵，解得，……8分）∴…10分）
由图知，二面角a－bf－e的平面角是钝角，故所求二面角的大小为。
33、(福建省漳州一中2024年上期期末考试)如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，为的中点。
（ⅰ）求证：平面平面；
（ⅱ）求直线与平面所成的角；
（ⅲ）求点到平面的距离。
解法一：（ⅰ设与交点为，延长交的延长线于点，则，∴，又∵，∴又∵，∴
又∵底面，∴，平面，平面，∴平面平面4分）
ⅱ）连结，过点作于点，则由（ⅰ）知平面平面，且是交线，根据面面垂直的性质，得平面，从而即。
为直线与平面所成的角。
在中， ，在中，
所以有，即直线与平面所成的角为8分）
ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即。 在中，从而点到平面的距离等于12分）
解法二：如图所示，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，.
ⅰ）由于。所以，所以，而，所以平面，∵平面，平面平面4分）
ⅱ）设是平面的一个法向量，则，由于，，所以有。
令，则，即，再设直线与平面所成的角为，而，所以，，因此直线与平面所成的角为………8分）
ⅲ）由（ⅱ）知是平面的一个法向量，而，所以点到平面的距离为。
34、(甘肃省河西五市2024年高三第一次联考)如图，已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且
ⅰ）求证：⊥平面；
ⅱ）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小
解：（ⅰ因为四棱锥p—abcd的底面是正方形，pa⊥底面abcd，则cd⊥侧面pad
又。又………5分。
（ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系又pa=ad=2，则有p（0，0，2），d（0，2，0）
设则有。同理可得。
即得8分。由。
而平面pab的法向量可为。
故所求平面amn与pab所成锐二面角的大小为。
35、(甘肃省兰州一中2012届高三上期期末考试)在棱长ab=ad=2，aa1=3的长方体ac1中，点e是平面bcc1b1上动点，点f是cd的中点。
（ⅰ）试确定e的位置，使d1e⊥平面ab1f；
（ⅱ）求二面角b1—af—b的大小。
解：（ⅰ以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，a（0，0，0），f（1，2，0），b1（2，0，3），d1（0，2，3），设e（2，y，z），则。4分。
由。为所求 ……6分。
ⅱ）当d1e⊥平面ab1f时， =2，－1， …8分。
又分别是平面bef与平面b1ef的法向量， …9分。
则二面角b1—af—b的平面角等于 ……10分。
……11分。
b1—af—b的平面角为。
36、(广东省2012届六校第二次联考)如图所示， 四棱锥pabcd底面是直角梯形，底面abcd, e为pc的中点， pa＝ad＝ab＝1.
1）证明：;
2）证明：;
3）求三棱锥bpdc的体积v.
证明：（1）取pd中点q, 连eq , aq , 则…1分。
2分。………3分。5分。
10分。解：（311分。
37、（广东省佛山市2024年高三教学质量检测一）如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．
ⅰ）证明：；
ⅱ）求与平面所成的角的正切值；
ⅲ）若，当为何值时，．
ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以． …1分。
因为是一个长方体，所以，而，所以，所以3分。
因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分。
ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分。
因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分。
因为，，所以7分。
所以与平面所成的角的正切值为8分。
ⅲ)解：当时9分。
当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以10分。
而，与在同一个平面内，所以11分。
而，所以，所以12分。
方法二：(ⅰ如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有2分。
于是，，，所以，．…3分。
所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得4分。
ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分。
所以6分。所以与平面所成的角的正弦值为7分。
所以与平面所成的角的正切值为8分。
ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为10分。
若要使得，则要，即，解得．…11分。
所以当时，．
38、(广东省惠州市2012届高三第三次调研考试)如图，p—abcd是正四棱锥，是正方体，其中
1）求证：；
2）求平面pad与平面所成的锐二面角的余弦值；
3）求到平面pad的距离。
解法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系………1分。
1）设e是bd的中点， p—abcd是正四棱锥，∴…2分。
又3分。4分。
即5分。2）设平面pad的法向量是6分。
7分。 取得8分。
又平面的法向量是9分。
10分。311分。
到平面pad的距离14分。
立体几何解答题
1 如图所示，在三棱锥a boc中，oa 底面boc，oab oac 30 ab ac 4，bc 动点d 段ab上。1 求证 平面cod 平面aob 2 当od ab时，求三棱锥c obd的体积。2 如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点 1 求证 平面 2 求三棱锥的体积 3 已知直线 半径...
立体几何解答题
1.如图，直三棱柱abc a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 2 若ab bb1 2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值 如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac 30 bm ac交ac于点m，ea 平面abc，fc ea，ac 4，ea 3，f...
立体几何解答题
1 2007宁夏 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 证明 平面 求二面角的余弦值 2.2008宁夏卷同海南 如图，已知点p在正方体的对角线上，求dp与所成角的大小 求dp与平面所成角的大小 3.2010年全国新课标卷 如图，已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形，ab cd，ac ...