立体几何解答题文

专题六立体几何解答题解题探秘。

一、高考高频考点探秘。

高考立体几何解答题，着重考查线、面位置关系的平行、垂直证明及空间角、距离、体积等几何量的计算。解答题多以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直位置关系，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直的**，关注对条件和结论不完备情形下开放性问题的**．在高考中对立体几何的考查主要体现在以下方面。

一）位置关系

1.两条直线相互垂直。

证明方法：证明两条直线所成角为；证明两条直线的方向量相互垂直；线面垂直推线线垂直；三垂线定理及其逆定理。

2.直线和平面垂直。

证明方法：1、证明直线和平面内两条相交直线都垂直；2、证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；3、证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

3.平面和平面相互垂直。

证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。

4.直线和平面相互平行。

证明方法：1、证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2、证明经过这条直线的平面平行于另一个平面；3、证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；4、证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

5.平面和平面相互平行。

证明方法：1、证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面；2、证明这两个平面的法向量相互平行。

二）求距离。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

求法：（1）几何法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来；（2）等体积法；（3）向量法：利用公式（其中a为已知点，b为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）

三）求角。1.两条异面直线所成的角。

求法：（1）几何法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；（2）向量法：

设，分别为l1,l2的方向向量，θ为异面直线l1与l2所成的角，则。

2.直线和平面所成的角。

求法：（1）几何法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。（2）向量法：设，分别为直线l,的方向向量与平面α的法向量，θ为直线l与平面α所成的角，则。

3.平面与平面所成的角。

求法：（1）几何法： “一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。

（2）射影面积法：（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我们要求的角为α或π－α3）向量法。

二、高考常考题型探秘。

例1. 如图所示四棱锥pabcd中，底面是以o为中心的菱形，po⊥底面abcd，ab＝2，∠bad＝，m为bc上一点，且bm＝.

1)证明：bc⊥平面pom；

2)若mp⊥ap，求四棱锥pabmo的体积．

解：(1)证明：如图所示，因为四边形abcd为菱形，o为菱形的中心，连接ob，则ao⊥ob.因为∠bad＝，所以ob＝ab·sin∠oab＝2sin＝1.

又因为bm＝，且∠obm＝，在△obm中，om2＝ob2＋bm2－2ob·bm·cos∠obm＝12＋－2×1××cos＝，所以ob2＝om2＋bm2，故om⊥bm.

又po⊥底面abcd，所以po⊥bc.从而bc与平面pom内的两条相交直线om，po都垂直，所以bc⊥平面pom.

2)由(1)可得，oa＝ab·cos∠oab＝2×cos＝.

设po＝a，由po⊥底面abcd，知△poa为直角三角形，故pa2＝po2＋oa2＝a2＋3.

又△pom也是直角三角形，故pm2＝po2＋om2＝a2＋.连接am，在△abm中，am2＝ab2＋bm2－2ab·bm·cos∠abm＝22＋－2×2××cos＝.

由已知mp⊥ap，故△apm为直角三角形，则。

pa2＋pm2＝am2，即a2＋3＋a2＋＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即po＝.

此时s四边形abmo＝s△aob＋s△omb

·ao·ob＋·bm·om

所以四棱锥pabmo的体积v四棱锥pabmo＝·s四边形abmo·po＝××

例2.如图，在三棱柱abc a1b1c1中，侧棱垂直于底面，ab⊥bc，aa1＝ac＝2，bc＝1，e，f分别是a1c1，bc的中点．

1)求证：平面abe⊥平面b1bcc1；

2)求证：c1f∥平面abe；

3)求三棱锥a e bc的体积．

解：(1)证明：在三棱柱abc a1b1c1中，bb1⊥底面abc，所以bb1⊥ab.

又因为ab⊥bc，所以ab⊥平面b1bcc1.

所以平面abe⊥平面b1bcc1.

2)证明：取ab的中点g，连接eg，fg.

因为e，f，g分别是a1c1，bc，ab的中点，所以fg∥ac，且fg＝ac，ec1＝a1c1.

因为ac∥a1c1，且ac＝a1c1，所以fg∥ec1，且fg＝ec1，所以四边形fgec1为平行四边形，所以c1f∥eg.

又因为eg平面abe，c1f平面abe，所以c1f∥平面abe.

3)因为aa1＝ac＝2，bc＝1，ab⊥bc，所以ab＝＝.

所以三棱锥a e bc的体积。

vaebc＝veabc =s△abc·aa1＝××1×2＝.

解题探秘：本题主要考查证平面与平面的垂直，直线与平面平行的方法和等体积思想求体积。考查了基础知识、基本运算、识图能力。或建立空间直角坐标系运用向量法解决立体几何问题的方法。

例3.已知是正四棱锥，是正方体，其中ab=2，pa=．

1）求证：；

2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值；

3）求点到平面的距离．

解：(1) 连结ac，交bd于点o，连结po，则po⊥面abcd，又∵，，

（2） ∵ao⊥bd，ao⊥po，∴ao⊥面pbd，过点o作om⊥pd于点m，连结am，am⊥pd，∴∠amo 就是二面角a-pd-o的平面角，∵ab=2，pa=，ao=，po=2，由，∴；

(3)设点到平面的距离为，则由，得，解得，即到平面pad的距离为．

解题探秘：组合体问题，通常分解为常见的多面体进行求解．

例4.如图（1）所示，在直角梯形abcp中，bc∥ap，ab⊥bc，cd⊥ap，ad＝dc＝pd＝2，e、f、g分别为线段pc、pd、bc的中点，现将△pdc折起，使平面pdc⊥平面abcd(如图(2))．

1)求证：ap∥平面efg；

2)**段pb上确定一点q，使pc⊥平面adq，并给出证明．

证明(1) ∵e、f分别是pc、pd的中点，∴ef∥cd∥ab，又ef平面pab,ab平面pab，ef∥平面pab．同理eg∥平面pab．

平面efg∥平面pab，∴ap∥平面efg；

解(2)取pb的中点q，连结aq，qd，则pc⊥平面adq，连结de，eq，∵e、q分别是pc、pb的中点，∴eq∥bc∥ad，平面pdc⊥平面abcd，pd⊥dc，∴pd⊥平面abcd，∴pd⊥ad，又ad⊥dc，∴ad⊥平面pdc，∴ad⊥pc，在△pdc中，pd＝cd，e是pc的中点，de⊥pc，∴pc⊥平面adeq，即pc⊥平面adq．

解题探秘：(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．抓住不变量是解决问题的突破口；(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形；另外，对开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析解决．

例5.一个四棱锥的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2.

1）画出其直观图，并求其体积：

2）求二面角c—pb—a大小；

3）为棱pb上的点，当pm长为何值时，解：（1）由三视图可得直观图如图。，（2）如图，以d为坐标原点，分别以所在直线为。

点为e，则是平面pbc的法向量。

设ap中点为f，同理可知是平面pab的法向量。，设二面角，显然所以二面角大小为；

3）p（2，0，0），b（0，2，2），c（0，2，0），a（0，0，2），p、m、b共线，可设，的长为时，.

解题探秘：根据三视图知识画出对应的几何体和相关的线段长度，最终把问题转化为立体几何问题，再运用几何法或向量法解决对应问题。

例6.在如图所示的多面体中，四边形abb1a1和acc1a1都为矩形．

1)若ac⊥bc，证明：直线bc⊥平面acc1a1.

2)设d，e分别是线段bc，cc1的中点，**段ab上是否存在一点m，使直线de∥平面a1mc？请证明你的结论．

图14解：(1)证明：因为四边形abb1a1和acc1a1都是矩形，所以aa1⊥ab，aa1⊥ac.

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