2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编。
07立体几何。
三、解答题(第四部分)
76、(江苏省前黄高级中学2012届高三调研)如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，已知ab= 4， ad =3， aa1= 2．e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb= fb=1．
1）求直线ec1与fd1所成角的余弦值；
2）求二面角c-de-c1的平面角的正切值．
解：以a为原点，分别为x轴，y轴，z轴的。
正向建立空间直角坐标系a-xyz，则有d(0，3，0)、
d1(0，3，2)、e(3，0，0)、f(4，1，0)、c1(4，3，2)．
于是，，．1）设ec1与fd1所成角为，则．
2）设向量与平面c1de垂直，则有。
其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面c1de垂直的向量．
向量=（0，0，2）与平面cde垂直，n0与所成的角θ为二面角c-de-c1的平面角．，∴
77、(江苏省泰兴市2007—2012学年第一学期高三调研)已知等腰梯形pdcb中（如图1），pb=3，dc=1，pb=bc=，a为pb边上一点，且pa=1，将△pad沿ad折起，使面pad⊥面abcd（如图2）.
（ⅰ）证明：平面pad⊥pcd；
（ⅱ）试在棱pb上确定一点m，使截面amc
把几何体分成的两部分；
（ⅲ）在m满足（ⅱ）的情况下，判断直线pd
是否平行面amc.
i）证明：依题意知：
2分。…4分。
（ii）由（i）知平面abcd
∴平面pab⊥平面abcd. …5分。
在pb上取一点m，作mn⊥ab，则mn⊥平面abcd，设mn=h则。8分。
要使。即m为pb的中点10分。
（ⅲ）连接bd交ac于o，因为ab//cd，ab=2，cd=1，由相似三角形易得bo=2od
o不是bd的中心………10分。
又∵m为pb的中点。
在△pbd中，om与pd不平行。
om所以直线与pd所在直线相交。
又om平面amc
直线pd与平面amc不平行。……15分。
78、(江苏省南通通州市2012届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱abc——a1b1c1中，aa1⊥面abc，ac=bc，m、n、p、q分别是aa1、bb1、ab、b1c1的中点．
1）求证：面pcc1⊥面mnq；
2）求证：pc1∥面mnq．
主要得分步骤：（1）ab⊥面pcc14′
mn∥ab，故mn⊥面mnq
mn在平面mnq内，∴面pcc1⊥面mnq7′
2）连ac1、bc1，bc1∥nq，ab∥mn
面abc1∥面mnq 11′
pc1在面abc1内．
pc1∥面mnq． 13′
79、(江西省鹰潭市2012届高三第一次模拟)已知斜三棱柱， ,在底面上的射影恰为的中点，又知。
(ⅰ)求证：平面；
ⅱ)求到平面的距离；
(ⅲ)求二面角的大小。
解法：(ⅰ平面，∴平面平面，又，∴平面， 得，又，平面。……4分。
ⅱ)∵四边形为菱形，故，又为中点，知∴.取中点，则。
平面，从而面面，……6分。
过作于，则面，在中， ,故，即到平面的距离为。……8分。
(ⅲ)过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中， ,10分。
在中， ,故二面角的大小为。
12分。解法：(ⅰ如图，取的中点，则，∵,又平面，以为轴建立空间坐标系， …1分。
则。 ,由，知，又，从而平面。……4分。
(ⅱ)由，得。设平面的法向量。
为， ,设，则。……6分。
点到平面的距离。……8分。
(ⅲ)设面的法向量为， ,10分。
设，则，故，根据法向量的方向。
可知二面角的大小为。……12分。
80、(宁夏区银川一中2012届第六次月考)如图，在四棱锥p—abcd中，侧面pad是正三角形，且与底面abcd垂直，底面abcd是边长为2的菱形，∠bad=60°，n是pb中点，截面dan交pc于m.
（ⅰ）求pb与平面abcd所成角的大小；
（ⅱ）求证：pb⊥平面admn；
（ⅲ）求以ad为棱，pad与admn为面的二面角的大小。
i）解：取ad中点o，连结po，bo.
△pad是正三角形，所以po⊥ad，……1分。
又因为平面pad⊥平面abcd，所以，po⊥平面abcd， …3分。
bo为pb在平面abcd上的射影，
所以∠pbo为pb与平面abcd所成的角。……4分。
由已知△abd为等边三角形，所以po=bo=，所以pb与平面abcd所成的角为455分。
（ⅱ）abd是正三角形，所以ad⊥bo，所以ad⊥pb6分。
又，pa=ab=2，n为pb中点，所以an⊥pb8分。
所以pb⊥平面admn9分。
（ⅲ）连结on，因为pb⊥平面admn，所以on为po在平面admn上的射影，因为ad⊥po，所以ad⊥no11分。
故∠pon为所求二面角的平面角。
因为△pob为等腰直角三角形，n为斜边中点，所以∠pon=45°……12分。
81、(山东省济南市2024年2月高三统考)如图，四棱锥p—abcd中，abcd为矩形，△pad为等腰直角三角形，∠apd=90°，面pad⊥面abcd，且ab=1，ad=2，e、f分别为pc和bd的中点．
1）证明：ef∥面pad；
2）证明：面pdc⊥面pad；
3）求锐二面角b—pd—c的余弦值．
解：（1）如图，连接ac，abcd为矩形且f是bd的中点，ac必经过f1分。
又e是pc的中点，所以，ef∥ap2分。
ef在面pad外，pa在面内，ef∥面pad4分。
2）∵面pad⊥面abcd，cd⊥ad，面pad面abcd=ad，∴cd⊥面pad，又ap面pad，∴ap⊥cd6分。
又∵ap⊥pd，pd和cd是相交直线，ap⊥面pcd7分。
又ad面pad，所以，面pdc⊥面pad8分。
3）由p作po⊥ad于o，以oa为x轴，以of为y轴，以op为z轴，则。
a（1，0，0），p（0，0，19分。
由（2）知是面pcd的法向量，b（1，1，0），d（一1，0，0），10分。
设面bpd的法向量，由得。
取，则，向量和的夹角的余弦 11分。
所以，锐二面角b—pd—c的余弦值12分。
82、(山东省聊城市2012届第一期末统考)如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab=，af=1，m是线段ef的中点。
（1）求证：am//平面bde；
（2）求二面角a—df—b的大小。
1）解：记ac与bd的交点为o，连接oe………1分。
o，m分别是ac、ef的中点，且四边形acef是矩形，四边形aoem是平行四边形，am//oe，又oe平面bde，am平面bde，am//平面bde.……4分。
（2）在平面afd中过a作as⊥df，垂足为s，连接bs，ab⊥af，ab⊥ad，adaf=a，ab⊥平面adf6分。
又df平面adf，df⊥ab，又df⊥as，abas=a，df⊥平面abs.
又bs平面abs，df⊥sb.
∠bsa是二面角a—df—b的平面角。……8分。
在rt△asb中，as
∠asb=6010分。
本题若利用向量求解可参考给分）
83、(山东省实验中学2012届高三第三次诊断性测试)如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．
解法一：(ⅰ四边形是正方形，
1分。平面平面，又∵，平面2分。
平面， ．3分。
平面4分。(ⅱ)连结，平面，是直线与平面所成的角． …5分。
设，则。6分。
即直线与平面所成的角为…8分。
ⅲ）过作于，连结9分。
平面，．平面．
是二面角的平面角． …10分。
平面平面，平面．
在中，，有．
由(ⅱ)所设可得， …10分。
二面角等于12分。
解法二： ∵四边形是正方形 ，平面平面，平面， …2分。
可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空。
间直角坐标系．
设，则。是正方形的对角线的交点，……4分。
ⅰ），4分。
平面． …5分。
ⅱ）平面，为平面的一个法向量，……6分。
．……7分。
∴直线与平面所成的角为． …8分。
ⅲ) 设平面的法向量为，则且，且．
即。取，则， 则．……10分。
又∵为平面的一个法向量，且，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分。
84、(山东省郓城一中2007-2012学年第一学期期末考试)如图，直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f
为ce上的点，且bf⊥平面ace.
（ⅰ）求证：ae⊥平面bce；
（ⅱ）求二面角b—ac—e的余弦值；
（ⅲ）求点d到平面ace的距离。
立体几何解答题
1 如图所示，在三棱锥a boc中，oa 底面boc，oab oac 30 ab ac 4，bc 动点d 段ab上。1 求证 平面cod 平面aob 2 当od ab时，求三棱锥c obd的体积。2 如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点 1 求证 平面 2 求三棱锥的体积 3 已知直线 半径...
立体几何解答题
1.如图，直三棱柱abc a1b1c1中，abc是等边三角形，d是bc的中点 1 求证 a1b 平面adc1 2 若ab bb1 2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值 如图，ac是圆o的直径，点b在圆o上，bac 30 bm ac交ac于点m，ea 平面abc，fc ea，ac 4，ea 3，f...
立体几何解答题
1 2007宁夏 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 证明 平面 求二面角的余弦值 2.2008宁夏卷同海南 如图，已知点p在正方体的对角线上，求dp与所成角的大小 求dp与平面所成角的大小 3.2010年全国新课标卷 如图，已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形，ab cd，ac ...