立体几何(练一练)
1． 如图，四棱锥的底面是菱形，，面， 是的中点，是的中点。
ⅰ）求证：面⊥面；
ⅱ）求证：∥面。
2．如图，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中．
1) 证明： /平面；
2) 证明： 平面；
3) 当时，求三棱锥的体积．
3．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
4．已知是正方形，⊥面，且，是侧棱的中点。
1）求证∥平面；
2）求证平面平面；
3）求直线与底面所成的角的正切值。
5．如图，在四棱锥中，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：
ⅰ）底面；ⅱ）平面；
ⅲ）平面平面。
6．如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f、g分别是cb、cd、cc1的中点，1）求证：平面a b1d1∥平面efg;
2）求证：平面aa1c⊥面efg.
3）求异面直线ac与a1b所成的角。
7．如图所示，四棱锥p－abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pa＝ad＝a．
1）求证：mn∥平面pad；
2）求证：平面pmc⊥平面pcd．
8．如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=1，aa1=2，m为棱dd1上的一点。
ⅰ）求三棱锥a-mcc1的体积；
ⅱ）当a1m+mc取得最小值时，求证：b1m⊥平面mac
9．如图，△是等边三角形， ，分别是，，的中点，将△沿折叠到的位置，使得。
1）求证：平面平面；
2）求证：平面。
10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，
1）证明：平面；
2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
立体几何参***。
1．（ⅰ底面是菱形，，
为正三角形，是的中点，，面，，，面⊥面。
ⅱ）取的中点，连结，，
是中点，∴∥且。
与平行且相等，∥,面。
2．【解析】（1）在等边三角形中，
在折叠后的三棱锥中。
也成立， ,平面，平面，平面；
2）在等边三角形中，是的中点，所以，.
在三棱锥中，，
3）由（1）可知，结合（2）可得。
解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用：
折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变；位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用。本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化，达到证明目的；第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系，借助线面垂直的判断定理证明；第三问利用体积转化，充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解。
3．【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。
2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。
证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
2）∵，为的中点，∴。又∵平面，且平面，∴。又∵平面，，∴平面。 由（1）知，平面，∴∥又∵平面平面，∴直线平面。
4．解：（１ 又。
又。即直线与平面所成角。
5．【解析】（ⅰ因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，
所以底面。ⅱ）因为，，是的中点，所以，且。
所以为平行四边形。
所以，.又因为平面，平面，所以平面。
ⅲ）因为，并且为平行四边形，所以，.
由（ⅰ）知底面，所以，所以平面。
所以。因为和分别是和的中点，所以。
所以。所以平面。
所以平面平面。
6．：（1）∵分别是的中点，平面平面，又∵,平面平面，平面∥平面。
2）∵ef∥bd ，abcd为正方形。
∴bd⊥ac, 即ef⊥ac，又∵正方体中面abcd,ef面abcd, ∴ac面，∴ef⊥平面，又∵ef属于面efg, ∴平面⊥平面efg
3）在正方体中显然有，所以即为异面直线ac与a1b所成的角；
显然为正三角形，所以，即异面直线ac与a1b所成的角为。
设pd的中点为e，连结ae、ne，由n为pd的中点知endc，又abcd是矩形，∴dcab，∴enab
又m是ab的中点，∴enan，amne是平行四边形。
mn∥ae，而ae平面pad，nm平面pad
mn∥平面pad
证明：⑵∵pa＝ad，∴ae⊥pd，又∵pa⊥平面abcd，cd平面abcd，cd⊥pa，而cd⊥ad，∴cd⊥平面pad
cd⊥ae， ∵pd∩cd＝d，∴ae⊥平面pcd，mn∥ae，∴mn⊥平面pcd，又mn平面pmc，平面pmc⊥平面pcd.
9．证明：（1）因为，分别是，的中点，所以。因为平面，平面，所以平面。 2分。
同理平面。 4分。
又因为， 5分。
所以平面平面。 6分。
2）因为，所以。
又因为，且，所以平面。 8分
因为平面，所以。 9分
因为△是等边三角形，不防设，则 ，可得。 11分。
由勾股定理的逆定理，可得。 12分
所以平面13分。
10．思路分析（1）要证明线面垂直，须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直，一般要遵循“先找再作”的原则，对图形进行细致分析是关键。注意到，得到．
由侧棱底面，得到．从而得到平面．，利用，得到．结合四边形为正方形．
得到．推出平面．
2）对于这类存在性问题，往往是先通过对图形的分析，找“特殊点”，肯定其存在性，再加以证明。
注意到当点为棱的中点时，取的中点，连、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．
试题解析：（1）∵，
侧棱底面，∴．平面．
平面，∴，则4分。
在中，，，四边形为正方形．
． 6分，∴平面7分。
2）当点为棱的中点时，平面9分。
证明如下：如图，取的中点，连、、，分别为、、的中点，
平面，平面，平面11分。
同理可证平面12分，平面平面13分。
平面，平面14分。
立体几何习题
高二数学立体几何练习题。班级学号姓名。一 选择 12 5 60分。1 经过空间任意三点作平面。a 只有一个 b 可作二个 c 可作无数多个 d 只有一个或有无数多个。2 两个完全相同的长方体的长 宽 高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长...
立体几何习题 2
时间60分钟，满分80分 一 选择题 共6个小题，每小题5分，满分30分 1 如图所示的几何体 下底面是正六边形 其侧 左 视图正确的是 解析 由于几何体的下部为正六面体，故侧 左 视图内只有一条棱 答案 a2 如图，不是正四面体的表面展开图的是 ab cd 解析 不能折成四面体 答案 d3 201...
立体几何习题 带答案
立体几何习题。1 若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为 a.b.c.d.8 2 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，bm与ed平行 cn与be是异面直线 cn与bm成角 dm与bn垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 a b cd 3 等边三角形的边长为2,它绕其一边所在的直线旋转...