2004太原市初中数学竞赛试题。
一、选择题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分)
1.若0＜a＜1，-2＜b＜-1，则的值是( )
a.0 b.-1 c.-2 d.-3
2.设α、β是方程2x2-3|x|-2=0的二实数根，则的值是( )
a.-1 b.1 c.- d.
3.如图，在△abc中，∠a=60°，∠c=80°，∠c的平分线与∠a的外角平分线交于d，连结bd，则tan∠bdc的值是( )
a.1 b. c. d.
4.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是( )
a.22 b.20 c.18 d.16
5.已知△abc中，∠c=90°，ac=，bc=5，以c为圆心，bc为半径作圆交ba的延长线于d，则ad的长为( )
a. b. c. d.
6.已知方程+3=，则此方程的正整数解的组数是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
二、填空题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分)
7.圆中两条相交弦将圆内区域分为4个部分，请在圆中再画出三条弦，将圆内区域分为15个部分。
8.已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+1=0有有理根，则k的值是___
9.已知梯形abcd中，ad∥bc，ac、bd交于o，△aod和△aob的面积分别为9和12，则梯形abcd的面积是。
10.设二次函数y=x2+2ax+(a＜0)的图像顶点为a，与x轴交点为b、c，当△abc为等边三角形时，a的值为。
11.连结正方形两组对边上的对应三等分点，得右图，则由图中所有线段构成的矩形共有___个。
12.如图，一抛物线弧的最大高度为15，跨度为60，则距离中点m与12的地方，弧的高度是。
三、已知n为正整数，一次函数y=x+n+1的图像与坐标轴围成三角形的外接圆面积为π，求此一次函数的解析式。(16分)
四、设四位数是一个完全平方数，且=2+1，求这个四位数。(16分)
五、已知△abc内接于⊙o，ad，bd为⊙o的切线，作de∥bc，交ac于e，连eo并延长交bc于f，求证：bf=fc.(17分)
六、已知当-1＜x＜0时，二次函数y=x2-4mx+3的值恒大于1，求m的取值范围。(17分)
参***。1.解：∵a-1＜0，b+2＞0，a+b＜0,∴原式=-1-1-1=-3.∴选(d).
2.解：原方程即2|x|2-3|x|-2=0，即(2|x|+1)(|x|-2)=0，∵2|x|+1＞0，|x|-2=0，∴x=±2.
∴选(a).
3.解：∵d在∠c的平分线上，∴d到cb，ca的距离相等，又∵d在∠a的外角平分线上，∴d到ca，ab的距离相等，∴d到ab，cb的距离相等，∴d在∠b的外角平分线上。
∵∠abc=40°，∴dba=70°，∴dbc=110°，又∵∠bcd=40°，∠bdc=30°，∴tan∠bdc=.
∴选(d).
4.解：设白皮有x块，则黑皮有32-x块，∵黑皮为正五边形，∴黑皮共有边数为5(32-x)条，又∵每块白皮有三条边和黑皮连在一起，∴黑皮共有边数还可表为3x条，由此得方程。
5(32-x)=3x，解之得白皮有x=20(块).
∴选(b).
5.解：延长ac与圆相交于e、f，则af=5+，ae=5-，又知ab=6，由相交弦定理ad·ab=ae·af得。
ad===∴选(c).
6.解：∵=10，x，y为正整数，∴、化为最简根式后应与为同类根式，只能有以下三种情况：
+3=+9=4+6=7+3=10，∴共有三组解，选(c).
7.解：圆中五条弦两两相交，且任何三条弦不交于一点，最多可将圆内区域分为16个部分，∴欲将圆内区域分为15个部分，只需有两条弦交于圆周上或交于圆外，或者有三条弦在圆内交于一点，如图示。
8.解：∵方程有有理根，∴判别式△1=(2k+3)2-4k为完全平方数。
设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数)，即4k2+8k+9-m2=0①
将①式看作关于k的二次方程，由题设知有整数根，故①式的判别式。
△2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数。而16是完全平方数，令m2-5=n2(n为正整数，且m＞n)，则有(m+n)(m-n)=5，∴解得。
将m=3代入①式得k=-2或k=0(舍去)，∴k=-2.
说明：本题也可由△1=4(k+1)2+5为完全平方数直接求得k=-2.
9.解：如图∵s△aod:
s△aob=od:ob=oa:oc=s△aob:
s△boc，∴s2△aob=s△aod·s△boc，∴s△boc==16，又∵s△cod=s△aob=12，∴梯形abcd的面积s=9+16+12+12=49.
10.解：二次函数y=x2+2ax+(a＜0)的图像如右图，顶点a(-a,-)图像与x轴的交点为b(x1,0)，c(x2,0)，对称轴与x轴交点为d，则|bc|=|x1-x2|=
又∵△abc为等边三角形，∴|ad|=|bc|，即|-|即a2+=0，∴a=-或a=0(舍去)，故a=-.
11.解：观察图形可知：
面积为1×1的矩形有9个，面积为2×2的矩形有4个，面积为3×3的矩形有1个，面积为1×2的矩形有12个，面积为1×3的矩形有6个，面积为2×3的矩形有4个。
∴共有36个。
说明：本题简捷算式为()2=36.
12.解：以m为坐标原点，直线ab为x轴，直线mc为y轴，建立坐标系，则抛物线为二次函数y=ax2+15的图像，∴点b(30,0)在抛物线上，∴900a+15=0，∴a=-，y=-x2+15，当x=12时，y=-×144+15=12.
三、解：当y=0时，得x=-n，∴直线与x轴交点为a(-n,0).
当x=0时，得y=n+1，∴直线与y轴交点为b(0,n+1).
∵rt△abo的外接圆的面积s=()2π=πab|=5.
由|ao|2+|bo|2=|ab|2，得n2+(n+1)2=25，即n2+n-12=0，∴n=3.
∴一次函数解析式为y=x+4.
四、解：设=m2，则32≤m≤99.又设=x，则=2x+1，于是100(2x+1)+x=m2，即201x=m2-100，即67(3x)=(m+10)(m-10).
∵67是质数，∴m+10、m-10中至少有一个是67的倍数。
若m+10=67k(k是正整数)，∵32≤m≤99，∴m+10=67，∴m=57.
检验知572=3249，不合题意，舍去；
若m-10=67k(k是正整数)，则m-10=67，∴m=77. ∴772=5929.
五、证明：连接ao、do，如图则∠1=∠3，∵de∥bc，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴d、a、e、o四点共圆。
∴∠deo=∠dao=90°，∴de⊥ef，又∵de∥bc，∴ef⊥bc，∴bf=fc.
六、解：二次函数y=x2-4mx+3的图像是一条开口向上的抛物线。
(1)当抛物线的对称轴x=2m≤-1时，即m≤-时，要使二次函数的值在-1＜x＜0时恒大于1，只要y|x=-1=1+4m+3=4m+4≥1即可，解得m≥-，m≤-；
(2)当抛物线的对称轴x=2m≥0时，即m≥0时，要使二次函数的值在-1＜x＜0时恒大于1，只要y|x=0=3≥1即可，∴m≥0；
(3)当抛物线的对称轴x=2m在区间-1＜x＜0时，∵-1＜2m＜0，∴-m＜0,此时，要使二次函数的值在-1＜x＜0时恒大于1，只要ymin=y|x=2m=＞1即可，解之得-＜m＜，∴m＜0.
综合(1)、(2)、(3)得m的取值范围是m≥-.
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