1、解答题。
1)计算：
2)解方程组：
2、化简：
3、 如图，登山缆车从点a出发，途经点b后到达终点c.其中ab段与bc段的运行路程均为200m，且ab段的运行路线与水平面的夹角为30°，bc段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点a运行到点c的垂直上升的距离。（参考数据：
sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.
90）4、***办公厅在2024年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
1）求获得一等奖的学生人数；
2）在本次知识竞赛活动中，a，b，c，d四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛。请使用画树状图或列表的方法求恰好选到a，b两所学校的概率。
5、如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点。
1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积。
20.（本小题满分10分）
如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且。是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，.
1）求证：；
2）试判断与的位置关系，并说明理由；
3）若，求的值。
一、填空题。
21.比较大小填，，或）
22.有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为。
23．已知菱形a1b1c1d1的边长为2，∠a1b1c1＝60°，对角线a1c1，b1d1相交于点o．以点o为坐标原点，分别以oa1，ob1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以b1d1为对角线作菱形b1c2d1a2∽菱形a1b1c1d1，再以a2c2为对角线作菱形a2b2c2d2∽菱形b1c2d1a2，再以b2b2为对角线作菱形b2c3d2a3∽菱形a2b2c2d2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点a1，a2，a3，…，an，则点an的坐标为。
24.如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为。
图（1图（2图（3）
答案】：或或
解析】：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；
易知，射影知。
（2）当时，如图（2），延长交于点，易知，，
易知。3）当时，如图（3），由。
综上：或或。
25.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是写出所有正确说法的序号）
方程是倍根方程；
若是倍根方程，则；
若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为。
答案】解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于， ，因此本选项错误；
对于，，而，因此本选项正确；
对于，显然，而，因此本选项正确；
对于，由，知，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。
综上可知，正确的选项有： 。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）
26、（本小题满分8分）
某商家**一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元。
1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
答案】：（1）120件；（2）150元。
解析】：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件。
由题意可得：，解得，经检验是原方程的根。
（2）设每件衬衫的标价至少是元。
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元/件）
由题意可得：
解得，所以，即每件衬衫的标价至少是元。
27、（本小题满分10分）
已知分别为四边形和的对角线，点在内，。
1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。
1)求证：∽；2）若，求的长。
2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，求的值；
3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，设，试**三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）
答案】：（1）1）见解析，2）；（2）；（3）
解析】：（1）1)，又，。
2），，由∽可得，又， ，即。
由，解得。（2）连接，同理可得，由，可得。
所以，。解得。
（3）连接，同理可得，过作延长线于，可解得，28．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），经过点a的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点c，与抛物线的另一个交点为d，且cd＝4ac．
1）直接写出点a的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
2）点e是直线l上方的抛物线上的动点，若△ace的面积的最大值为，求a的值；
3）设p是抛物线的对称轴上的一点，点q在抛物线上，以点a、d、p、q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点p的坐标；若不能，请说明理由．
答案】：（1）a（－1，0），y＝ax＋a；
2）a＝－；
3）p的坐标为（1，－）或（1，－4）
解析】：1）a（－1，0）
直线l经过点a，∴0＝－k＋b，b＝k
y＝kx＋k
令ax 2－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2－( 2a＋k )x－3a－k＝0
cd＝4ac，∴点d的横坐标为4
－3－＝－1×4，∴k＝a
直线l的函数表达式为y＝ax＋a
2）过点e作ef∥y轴，交直线l于点f
设e（x，ax 2－2ax－3a），则f（x，ax＋a）
ef＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a
s△ace ＝s△afe － s△cfe
( ax 2－3ax－4a )(x＋1 )－ax 2－3ax－4a )x
( ax 2－3ax－4a )＝a( x－)2－a
△ace的面积的最大值为－a
△ace的面积的最大值为。
－a＝，解得a＝－
3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2－3ax－4a＝0
解得x1＝－1，x2＝4
d（4，5a）
y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1
设p（1，m）
若ad是矩形的一条边，则q（－4，21a）
m＝21a＋5a＝26a，则p（1，26a）
四边形adpq为矩形，∴∠adp＝90°
ad 2＋pd 2＝ap 2
5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( 1－1 )2＋( 26a )2
即a 2＝，∵a＜0，∴a＝－
p1（1，－）
若ad是矩形的一条对角线。
则线段ad的中点坐标为（，）q（2，－3a）
m＝5a－( 3a )＝8a，则p（1，8a）
四边形apdq为矩形，∴∠apd＝90°
ap 2＋pd 2＝ad 2
( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2
即a 2＝，∵a＜0，∴a＝－
p2（1，－4）
综上所述，以点a、d、p、q为顶点的四边形能成为矩形。
点p的坐标为（1，－）或（1，－4）
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