初三数学a班练习（2）——相似三角形。
编者：武良文审稿：
经典例题。1、 如图， e是平行四边形abcd的对角线bd上一点，射线ae交cd于f，交bc的延长线于点g，找出图中有几对相似三角形。
2、 如图在rt△abc中，∠bac=900 ，d是bc的中点，联结da，过点d作bc的垂线交ac于点e，交ba的延长线于点f，求证：da是df的比例中项。
3、 如图，在△abc中，高bd于ce相交于点h。联结de。求证：（1）△ade∽△abc；
2）△ehd∽△bhc。
4．如图，在正方形abcd中，e是bc的中点，点f在cd上，且cf=cd，联结ae、ef、af。求证：（1）△abe∽△ecf；（2）△abe∽△aef。
5．如图，已知p是边长为4的正方形abcd内部的一点，且pb=3，联结pa，又be⊥pb，垂足为b。请在射线be上找点m，使得以m、b、c为顶点的三角形与△abp相似。
6．如图，在△abc中，de∥bc，ab=5，bc=6，ac=7。
1）如果s△ade=s梯形bced，求de的长；
2）如果c△ade= s梯形bced，求de的长。
7．如图，已知△abc，ad、be、cf是中线，g为重心且=， 用、表示下列向量：（1）；（2）；（3）；（4）。
8．如图，ab⊥bd，cd⊥bd，b、d为垂足。
1）已知∠apc=900 ，求证：△abp∽△pdc：
2）已知ab=2，cd=3，bd=7，p是线段bd上一个动点，若点p分别与a、b和c、d构成的两个三角形相似，求线段pb的长：
3）已知ab=2，cd=3，p是直线bd上的一动点，设pb=x, bd=y, 使点p与分别与a、b和c、d构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式及定义域。
9．在矩形abcd中，ab=8，ad=10，p是射线da上一点，将三角板的直角顶点置于点p，三角板两直角边中的一边始终经过点c，另一直角边并射线ba于点e。
1）p是边ad（不与a、d重合）上的一个动点，试判断△eap与△pdc一定相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由；
2）当点p在da的延长线上时，画出图形并判断△eap与△pdc一定相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由；
3）是否存在这样的点p，使△eap的周长等于△pdc周长的2倍？若存在，请求出pd的长；若不存在，请简要说明理由。
10．如图梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd=2，bc=6，点e在bd上，且∠dce=∠adb。
1）找一找，图中共有几对相似三角形？请全部找出来，并证明；
2）设bd=x,be=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
3）当ad=4时，能否求出be的长？若能，请把它求出来；若不能要说明理由。
典型习题：1．如图，已知△abc∽△ab1c1，点b1、、c1分别对应点b、c，联结bb1、cc1，求证：∠abb1=∠acc1。
2．如图，在△abc中，ab=8cm, bc=16cm，点p从点a出发沿ab边向点b以2cm/s 的速度移动，点q从点b出发沿bc边向点c以4cm/s 的速度移动，如果p、q两点是同时出发的，问：经过几钞钟之后，能使△pbq与△abc相似？并求出此时的相似比。
3．如图，已知ph是rt△abc斜边ac上的垂直平分线，垂足为h，并交直角边ab于点p，d是直线ph上一点，且ad是ap与ab的比例中项。求证：（1）ap。
ab=ah。ac；（2）△acd是等腰直角三角形。
4．如图，在△abc中，点d在bc上，de∥ab交ac于点e，df∥ac交ab于点f，且bc=5，，求bd的长。
5．如图，在△abc中， ab=ac，∠bac=900，点d、e、f分别在边bc、ab、ac上，bd=dc、
be=af，ef交ad于点g。
1） 求证：de=df
2） 求证：△deg∽△dcf。
3） 如果ab=3be，be=2，求出所有与△bde相似的三角形的面积。
6．如图，在△abc中， =延长ab到点b1，使ab1=5ab，延长ac到点c1，使ac1=5ac。联结b1c1。试求和，并判断与是否平行。
7．利用向量证明三角形的中位线定理。
8．如图，设m、n、p是△abc的边bc、ca、ab上的点，且bm=bc，cn=ca，ap=ab，联结mn、np、pm。设=， 分别求出向量、、关于、的分解式。
9、如图，在平行四边形abcd中，过点b作be⊥ab于点b，交dc于点e，联结ae，f是ae上一点，联结bf，且∠bfe=∠c。
1）△abf与△ead一定相似吗？并说明理由；
2）若ab=3，∠bae=300，求ae的长；
3）在（2）的条件下，如果ad=2，求bf的长，并说明此时△bef的形状。
10、 已知rt△abc，∠c=900，bd=6，ac=8。点p是边ab的中点，以p为顶点，作。
mpn=∠a，∠mpn的两边分别与边ac交于点m、n。
1） 当△mpn是直角三角形时，求cm的长度；
2） 当△mpn绕点p转动时，下列式子：（甲）cnan（乙）cnam的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；
3） 连接bm，是否存在这样的点m，使得△bmp与△anp相似？若存在，请求出这时cm的长；若不存在，请说明理由。
11、 如图，在矩形abcd中，ab=2，bc=3，p是边bc上的一个动点（不与点b，c重合），过点p作ap的垂线pq，交直线cd于点q。问：
1） 当点q位于边cd的中点时，bp的长是多少？
2） 当点p**段bc上移动时，点q是否始终位于线段cd上？请说明理由。
3） △apq与△abp是否会相似？若会，请求出此时bp的长；若不会，也请说明理由。
12、 如图，锐角三角形abc中，bc=10，s△abc=30，四边形defg是正方形，它的边长为x。点d，g分别在边ab，ac上，且dg∥bc，正方形defg与△abc公共部分的面积为y。
1） 求△abc的边bc上的高的长。
2） 当正方形defg的边ef恰好落在边bc上时，求边长x。
3） 当ef不落在边bc上时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。
13、 如图，e是正方形abcd的边ad上的动点，f是边bc延长线上的一点，且bf=ef，ab=12，设ae=x，bf=y。
1）当△bee是等边三角形时，求bf的长；
2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
3）把△abe沿着直线be翻折，点a落在点a1处，试探索：△a1bf能否为等腰三角形？如果能，请求出ae的长；如果不能，请说明理由。
14．如图，在梯形abcd中，ab∥cd，cd=6，bc=4，∠abd=∠c，p是cd上的一个动点（p不与点c，点d重合），且满足条件：∠bpe=∠c，交bd于点e，1）求证：△bcp∽△pde
2）如果cp=x，be=y，求y与x之间的函数关系式。
3）p点在运动过程中，△bpe能否成为等腰三角形？若能，求x的值，若不能，说明理由。
15．如图，在△abc中，ab=5，bc=3，ac=4，pq∥ab，点p、q分别在边ac，bc上，点p与a、c不重合。
1）当△pqc的面积与四边形pabq的面积相等时，求cp的长；
2）当△pqc的周长与四边形pabq的周长相等时，求cp的长；
3）在边ab上是否存在点m，使得△pqm为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出pq的长。
16．在正方形abcd中，ab=4，e为线段cd上一点（点e与点c、d不重合），fg垂直平分ae，且交ae于f，交ab延长线于g，交bc于h，1）证明：△ade∽△gfa；
2）设de=x，bg=y, 求y关于x的函数解析式；
3）当bh=时，求de的长。
17．如图，菱形abcd，∠abc=450，ab=4，e是ba延长线上一点，ed延长线交bc延长线于点f，1）探索：点d到ab，bc的距离存在怎样的关系？并加以证明。
2）设ae为x，△cdf的面积为y,求y与x的函数关系及定义域。
3）是否存在这样的x，使△ebf为等腰三角形？若存在，求出此时x的值，若不存在，说明理由。
18．如图所示，在直角△abc中，∠c=900，ab=10，bc=6，点是边ac上一动点，de⊥db交ab于点e。
1）当bd平分∠abc时，求证：ad2=abae。
2）设cd=x ,ae=y,求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
3）在点d的运动过程中，△bde是否有可能成为等腰三角形？如果有可能，请求出此时cd的值；如果不可能，请说明理由。
19．直角△abc中，∠c=900，ac=6，cb=8，m是bc的中点，p点ab上的一个动点（可以和a、b重合）作∠mpd=900，pd交bc或（bc的延长线）于d。
1）设bp的长为x，△bpm的面积为y，求出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围。
2）是否存在p点，使△mpd与△abc相似，若存在，求x；不存在，说明理由。
20．如图，已知p为∠aob的边oa上一点，op=2，以p为顶点的∠mpn的两边分别交射线ob于m、n两点，且∠mpn=∠aob=600，当∠mpn以点p为旋转中心，pm边与po重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠mpn保持不变）时，m、n两点在射线ob上同时以不同的速度向右平行移动，设om=x，on=y，（y＞x＞0），△pom的面积为s。
1）当∠mpn旋转300时，求点n移动的距离；
2）求证：△opn∽△pmn；
3）写出y与x之间的函数关系式；
4）试写出s随x变化的函数关系式，并确定s的取值范围。
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