2014考纲**
1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．
2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．
近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数的图像与性质考查有所加强，但以选择填空为主。
1.性质。的最小正周期t＝. y＝atan(ωx＋φ)的最小正周期t＝.
3．(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．
2)形如y＝asin(ωx＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究．
3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题．
1．若函数y＝cos(ωx－)(w>0)的最小正周期为，则w
解析 t＝＝ω10.
2．比较下列两数的大小．
1)sin125°__sin152°；(2)coscos；(3)tantan.
答案 (1)＞ 2)＞ 3)＝
解析 (1)90°<125°<152°<180°，∵y＝sinx在(90°，180°)上为减函数，∴sin125°>sin152°.
2)∵cos(－)cos，又y＝cosx在(0，π)上为减函数，0<<πcos(－)cos.
3)tan(－πtan(π－tanπ.
3．(1)函数y＝sin(x＋)的单调递增区间是。
2)函数y＝tan(x－)的单调递增区间是。
答案 (1)[2kπ－，2kπ＋]k∈z)； 2)(2kπ－，2kπ＋πk∈z)
解析 (1)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈z)，得2kπ－πx≤2kπ＋，k∈z)．
2)由kπ－4．若y＝cosx在区间[－π上为增函数，则α的取值范围是___
答案 －π0
5．(2013·浙江)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )
a．π，1 b．π，2 c．2π，1 d．2π，2
解析由f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，得最小正周期为π，振幅为1，故选a.
例1 求下列函数的周期．
1)y＝2|sin(4x2)y＝(asinx＋cosx)2(a∈r)； 3)y＝2cosxsin(x＋)－sin2x＋sinxcosx.
解析】 (1)y＝2|sin(4x－)|的最小正周期是y＝2sin(4x－)的最小正周期的一半，即t＝×＝
2)y＝[sin(x＋φ)2＝(a2＋1)sin2(x＋φ)a2＋1)·(为辅助角)，所以此函数的最小正周期为t＝＝π
3)y＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinxcosx＝sinxcosx＋cos2x－sin2x＋sinxcosx
sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，该函数的最小正周期为t＝＝π
**1 求三角函数最小正周期的基本方法有两种：一是将所给函数化为y＝asin(ωx＋φ)的形式；二是利用图像的根本特征，作出图像，观察得出．
思考题1 (1)f(x)＝|sinx－cosx|的最小正周期为___
答案】 t＝π
2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是___
解析】 由f(x)＝sinωx(ω>0)的图像知在[0,1]上至少存在50个最小值点，一个周期内有一个最小值点，∴1≥49t
讲评】 ω的值与周期有关，熟练掌握一个周期内的单调性、最值性、对称性等性质．
例2 判断下列函数的奇偶性．
1)f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x2)f(x)＝xsin(5π－x)．
解析】 (1)f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x)＝(sin2x)(－cosx)＝cosxsin2x.
f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，x∈r，∴f(x)是奇函数．
2)f(x)＝xsin(π－x)＝xsinx，f(－x)＝(x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．
**2 三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图像的性质，对y＝asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0为奇函数，若y为最大或最小则为偶函数．
思考题2 (1)判断下列函数的奇偶性．
f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)；②f(x)＝；y＝sin(2x＋)；y＝tan(x－3π)．
解析】 ①f(x)＝2sin2xcos3，∴f(－x)＝2sin(－2x)cos3＝－2sin2xcos3＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
1－sinx≠0，∴sinx≠1，∴∴f(x)定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．
偶函数 ④奇函数。
2)(2013·山东)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
ab. c．0d．－
解析】 由题得平移后的解析式为y＝sin(2x＋＋φ当φ＝时，y＝cos2x为偶函数，故选b项．
例3 (1)求函数f(x)＝sin(2x－)的对称中心和对称轴方程．
2)设函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称，求a的值．
3)函数y＝tan(＋)的图像的对称中心为。
解析】 (1)分析：利用三角函数的图像，把2x－看做一个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑y＝sinx与y＝sin(2x－)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称中心．
方法一：设a＝2x－，则函数y＝sina对称中心为(kπ，0)，即2x－＝kπ， x＝＋，k∈z)．
对称轴方程为2x－＝＋kπ，x＝＋πk∈z)．所以y＝sin(2x－)的对称中心为(＋，0)．
对称轴为x＝＋πk∈z)．
方法二：由2x－＝2(x－)，知y＝sin(2x－)图像是由y＝sin2x图像向右平移了个单位．
所以对称轴与对称中心也相应地向右平移个单位．
而y＝sinx的对称中心(kπ，0)，对称轴方程为x＝kπ＋，所以y＝sin(2x－)的周期为π，对称中心为(＋，0)，对称轴方程为x＝＋(k∈z)．
2)分析：利用对称的定义或利用对称轴的位置特征求解．
方法一：因为y＝sin2x＋acos2x＝sin(2x＋θ)其中θ由tanθ＝a确定．又图像关于x＝－对称，故在x＝－处，函数应取得最大或最小值．
所以x＝－时，y＝sin＋acos＝－＋a＝±，解得a＝－.
方法二：因为函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称．所以到x＝－距离相等的x值对应函数值相等．即f(－＋x)＝f(－－x)对定义域内任何值都成立．
令x＝，得f(0)＝f(－)所以0＋a＝sin(－)acos(－)解得a＝－.
方法三：∵函数关于x＝－对称，∴x＝－为函数的极值点，f′(－0.即(2cos2x－2asin2x)|x＝－＝0. ∴cos(－)asin(－)0.∴a＝－.
3)由＋＝(k∈z)，得x＝kπ－π即其对称中心为(kπ－π0)，(k∈z)．
**3 求函数y＝asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．
1)∵y＝sinx的对称中心是(kπ，0)，∴y＝asin(ωx＋φ)的中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x即可．
2)∵y＝sinx的对称轴是x＝kπ＋，k∈z，∴ωx＋φ＝kπ＋解出x，即为函数y＝asin(ωx＋φ)的对称轴．
3)注意y＝tanx的对称中心为(kπ，0)，(k∈z)．
思考题3 (1)函数y＝sin(2x＋)的图像的对称轴方程可能是( )
a．xb．xc．xd．x＝
解析】 由2x＋＝＋kπ，解得x＝＋，k∈z.所以对称轴可能是x＝.【答案】 d
2)函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的图像的一个对称中心的坐标是( )
a．(，0) b．(，1c．(，1d．(－1)
解析】 y＝2cosx(sinx＋cosx)＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1，则对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，解得x＝－＋k∈z.当k＝1时，x＝π，y＝1. 【答案】 b
例4 (1)求函数y＝cos(－2x＋)的单调递减区间；
2)求函数y＝sin(－2x)的单调递减区间；
3)求y＝3tan(－)的最小正周期及单调递减区间；
4)求函数y＝－|sin(x＋)|的单调递减区间．
解析】 (1)∵y＝cos＝cos，∴由2kπ≤2x－≤2kπ＋πk∈z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈z)．即所求单调减区间为(k∈z)．
2)y＝sin(－2x)＝－sin(2x－)，故由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋πk∈z)．
函数的单调递减区间为[kπ－，kπ＋πk∈z)．
3)y＝3tan(－)3tan(－)t＝＝＝4π.
由kπ－<函数的单调递减区间为(4kπ－π4kπ＋πk∈z)．
三角函数性质
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