1.4.3 正切函数的性质与图象。
白沙县白沙中学张秋花。
教学分析。本节课《正切函数的性质与图象》是高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，它前承正、余弦函数，后启三角函数图象的平移伸缩变换。本节课主要内容是根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后根据性质研究正切函数的图象以及性质与图象的应用。
本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，也是为学习后续知识作了铺垫。
学情分析。由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“**”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法。
目标分析。1.知识与技能：
理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质；会利用正切线及结合正切函数的性质作正切函数的图象；并会作正切函数的简图。
2.过程与方法。
根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）**正切函数的性质；通过函数性质**正切函数的图象；类比，联系正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线得到正切函数的图象；结合图象验证得到的正切函数性质。
3.情感、态度与价值观。
经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用；培养学生会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；
重点难点。教学重点：正切函数的性质与图象。
教学难点：1.利用正切线研究正切函数的单调性及值域；
2.利用正切线画正切函数的图象。
教法学法。1．教学方法：
本节课采用类比教学法、启发引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、**学习，努力做到教法、学法的最优组合。
2．教学手段。
教学中使用了多**来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象直观的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
3. 引导学生会**，鼓励学生敢于思考，通过把观察**所得到的结论融入到自己的学习过程之中，并逐渐构建自己的知识体系和方法系统。
教学过程。一）引入。
问题：我们学习正弦函数、余弦函数的性质时，主要研究哪几方面？
定义域， 周期性，奇偶性，单调性，值域。
设计意图】通过回忆前面知识，让学生能将这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，为下面研究正切函数的性质做好辅垫。
二）知识**（一）：正切函数的性质。
思考1：正切函数的定义域是什么？
思考2：正切函数y=tanx是否为周期函数？
思考3：正切函数y=tanx具有怎样的奇偶性？
思考4：正切函数的单调性怎样？你能写出它的单调区间？
思考5：正切函数的值域是什么？
1. 定义域。
根据正切函数的定义tanx,显然，当角x的终边落在y轴上时，正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈z,所以正切函数的定义域是。
2. 周期性。
由诱导公式。
tan(x+π)tanx,x∈r,x≠+kπ,k∈z 可知，正切函数是周期函数，周期是π.
3. 奇偶性。
因为定义域在数轴上关于原点对称，又由诱导公式。
tan(-x)=-tanx,x∈r,x≠+kπ,k∈z
可知，正切函数是奇函数。
4. 单调性。
通过多**动态演示正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(+kπ, kπ),k∈z内都是增函数。
设计意图】借助几何画板，动态演示单位圆中正切线的变化规律，是学生有了更加形象直观的认识。
5. 值域。
借助多**，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出，
当x大于且无限接近时，正切线at向oy轴的负方向无限延伸；当x小于且无限接近时，正切线at向oy轴的正方向无限延伸。因此，tanx在(,)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值。 即，正切函数的值域是实数集r.
三）、知识**（二）正切函数的图象。
想一想：正弦函数图象的作法有几种？
思考1：类比正弦函数图象的作法，你可以利用正切线作正切函数在区间（-π2，π/2）的图象？试一试。
设计意图]让学会实际动手作图，培养学生的动手操作能力。
根据正切函数的周期性，把y=tanx，x∈ (2,π/2)图象向左或者向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx x∈r,且x≠π/2+kπ,k∈z 的图象，我们把它叫做正切曲线。
请同学们认真观察正切函数的图象特征，你能从正切函数的图象出发，进一步确认它的性质？
从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈z所隔开的无穷多支曲线组成的。教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；每隔π个单位，图象重复出现一次 ,得到它的哪一性质——周期π; 它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为r；在每个开区间内图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(+kπ, kπ),k∈z,没有减区间。
思考2:你能类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，作出正切函数的简图吗？
教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出正切函数在 (,的简图，三个点很关键：(,1),(0,0),(1),还有两条直线。因此，画正切函数简图的方法就是：
先描三点(,-1),(0,0),(1),再画两条平行线x=,x=,然后用光滑的曲线把这些点连线，教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助。
四）、例题解析。
例1、 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间。
设计意图】学生通过对本节知识的学习已经掌握了正切函数的性质，通过本题巩固和提高学生对正切函数的性质的认识。
五）课堂练习。
p45 练习题第3题和第6题。
设计意图】让学生进一步巩固本节知识。
六）、尝试小结。
1、本节课我们是怎样研究正切函数的性质与图象？
2、正切函数的性质有哪些？
3、正切函数图象的作法有几种？
(1)、几何作法；(2)、“三点两线法”
设计意图】通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成和提升抽象问题的能力。
七）作业设计。
必做题：1.4a组第7.8题。
选做题：b组第2题。
设计意图】复习巩固知识，培养学生的实战能力，培养学生独立思考问题的精神。
板书设计。
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