【自主学习】
学习目标】1、理解并掌握利用正切线作正切函数图象的方法。
2、掌握正切函数定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性和对称性。
3、掌握正切函数性质的简单应用。
教材导析】一、情景导入。
回顾单位圆中的在切线，如下图，角分别在第。
一、二、三、四象限时，其正切值用用有向线段at（即角的正切线）表示：.
二、教材导读。
由于我们前面已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，我们完全可以把它迁移到对正切函数的研究之中。因此，我们对本节课的学习就变得很容易了。
我们将教材顺序调整一下，先认识正切函数的图象，再看图说话认识正切函数的性质。
1.正切函数的图象。
1））的图像。
我们可仿照正弦曲线的平移法获得： 利用单位圆中的正切线进行平移：把角度为的正切线平移至坐标平面内直线上，保持正切线的起点在轴上，则正切线终点的轨迹图像就是的图像（如右图）.
2）正切函数，的图像：由诱导公式知，只需将的图像向左、右扩展（每次向左、右平移个单位），就得到正切函数，的图像——正切曲线(如图).
2.正切函数的性质。
观察正切函数的图象，我们根据数形结合思想“看图说话”，归纳正切函数以下性质：
1）定义域：.其中是正切曲线的渐近线，可以无限接近但不能到达。
2）值域：r.在定义域上既无最大值也无最小值。
3）奇偶性与对称性：图象关于原点对称，是奇函数。
事实上，根据诱导公式：正切函数奇函数。
从图象可知，正切函数的图象无对称轴，但是中心对称图象，对称中心有点……，等，所以，其对称中心为。
4）单调性：在每一个区间内都是增函数。
5）周期性：最小正周期。
事实上，由诱导公式知正切函数是以为周期的周期函数，最小正周期。
6）零点：的零点为。
3.正切函数图象与性质的应用。
教材例6中，采用了与正、余弦函数的图象与性质的应用中类似的换元法，这种方法在解决三种类型的函数、或（其中均为常数）的定义域、值域、单调性等问题时均有非常重要的作用，我们要熟练的掌握和运用这种方法。
课堂点金】重难点突破】
1.利用正切函数的图象求解零点问题与不等式问题。
例1. （教材《习题1.4》第9题（1）改编）设。
1）求的零点。
2）根据正切函数图象，写出满足的的集合。
解析】（1）的零点就是方程即的根。
在使的，故由的周期性知的根为，故的零点为。
2），观察在的图象的特解，故满足的。
评析】充分把握正切函数的图象和性质是解决有关正切函数的零点问题、三角不等式问题的关键。
变式1】（教材《练习》第2题）观察正切曲线，写出满足下列条件的的值：
解析】利用“先特解、后通解”思路，观察正切曲线知：先观察在一个周期内，使的满足，使的，使的满足，由于的周期为，故：
1）满足的的集合为；
2）满足的的集合为；
3）满足的的集合为。
2. 正切函数的定义域、单调性与周期性。
例2.（教材p44例1）求函数的定义域、周期和单调区间。
解析】要使函数有意义，只需，所以函数的定义域为。
由于，因此函数的周期为2.
由，解得：.
因此，函数的单调递增区间是。
评析】函数的周期为。
例3.（08天津）设，，，则（ ）
a． b． c． d．
解析】因为，如右图。在同一坐标系下画出正弦、余弦与正切函数的图象即可知选d．
评析】掌握三角函数值的大小比较方法。同角异名时利用同一坐标系下的函数图象比较（如本例），同名异角时将所有角转化到对应函数的同一单调区间，再利用单调性进行比较（见变式3）.
变式3】比较与大小。
解析】,3.正切函数的对称性。
例4.函数关于点对称，则实数的一个可能取值为（ ）
a、-1 b、0 c、1 d、2
分析】根据正切函数的对称性，把视为一个整体求解。
解析】的对称中心为的横坐标为。
所以选d.评析】注意整体代换思想。
变式4】函数的对称中心为。
解析】其对称中心为。
教材挖掘】利用单位圆中的三角函数线研究三角函数性质。
阅读教材，理解教材利用单位圆知的三角函数线研究正切函数的性质和图象的方法。
我们知道，单位圆中的三角函数线直观地表现了三角函数中主变量与函数值之间的关系，因而是研究三角函数性质的好工具。用三角函数线研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质。
如图，在直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，过p作轴的垂线，垂足为m，过作轴的垂线与角的终边或其反向延长线交于点t，于是我们分别得到角正弦线mp、余弦线om和正切线ta.
当角的终边绕原点从轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，想象正弦线、余弦线和正切线的变化规律性：
正弦线mp按照0→1→0→→0→…的规律周而复始地变化着；
正弦线om按照1→0→→0→1→…的规律周而复始地变化着；
正切线at按照0→,→0→,→0→,…的规律周而复始地变化着。
根据上述变化规律，我们可以得到三种函数的诸多性质，尝试根据单位圆中的三角函数线的运动变化情况研究三角函数的性质，填写下表。
总结提升】本课主要利用研究正弦函数、余弦函数的方法来研究正切函数的图象和性质，会利用正切函数的图象和性质求解相关问题。
三阶评价】基础测评】
1．函数的定义域是。
解析】.2.函数周期为（ ）
a． b． c． d．
解析】，选b.
3．（教材《练习》第5题）（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？
2）正切函数会不会在某个区间内是减函数？为什么？
解析】（1）根据单调性的概念知正切函数在整个定义域内不是增函数，如取，，虽然，但：这两个变量没有在同一单调区间。正确的说法是：
正切函数在整个定义域内不具备单调性，但在每一个区间内都是增函数。
2）正切函数不会在某个区间内是减函数，因为它在每一个区间内都是增函数。
4.（教材《练习》第4题）求下列函数的周期：
解析】（1）；（2）.
5.比较与的大小。
解析： ，又内单调递增，即。
6.（教材p47《习题1.4》b组第2题）求函数的单调区间。
解析】由，所以在每一个区间上递减，无递增区间。
能力提升】一、选择题。
1. 函数的定义域为（ ）
a. b.
c. d.
解析】，解得，选d.
2． 直线y=2与函数的相邻两支的交点间的距离为（ ）
a． b． c． d．
解析】“相邻两支的交点间的距离”刚好是的一个周期，选b.
3.下列不等式成立的是（ ）
．sin＞sin ｂ．cos(－)cos(－)
．tan1519°【解析】转化为同一单调区间即可。
sin， sin，排除a；
cos(－)排除b；
同理，排除c.
tan，tan(－)由于，故d成立。所以选d.
4. 设，β都是第二象限的角，且sin＜sinβ，则（ ）
解析】取排除a，c，再取排除d，选b.5.
二、填空题。
5.函数的值域是 .
解析】根据正弦函数的图象知：，故。
6.的最小正周期为3，则。
解析】.7.（2010江苏）设定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为___
解析】设作出示意图，知，而且。
得，所以线段的长为。
三、解答题。
8.（教材《习题1.4》第9题（1）改编）设。
1）求的零点。
2）根据正切函数图象，写出满足的的集合。
解析】（1）的零点就是方程即的根。
在使的，故由的周期性知的根为，故的零点为。
2），观察在的图象的特解，故满足的。
9.求函数的周期、单调区间和对称中心的坐标。
解析】，故周期。
由解得，即函数的单调减区间为，无递增区间。
令，即其对称中心为。
高考文津】若函数的最小正周期ｔ满足，则的取值集合是。
解析】,又，故。课后反思】
正切函数图象与性质
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