函数的基本性质。
基础性考点知识突破】
一、函数的单调性与最值。
1．单调函数的定义
变形：，,则在区间上单调递增；，则在区间上单调递减。
2．单调性与单调区间
注意：（1）单调区间之间不能用连接。
（2）单调性是函数的局部性质，若函数在整个定义域内都是单调的，则称函数为单调函数。
3．复合函数的单调性。
对于复合函数，若称为内层函数，为外层函数，则复合函数的单调性符合下表：
即复合函数的单调性符合“同增异减”的原则．
注：求复合函数单调区间时应首先求出函数的定义域．
4.判断单调性的方法。
1）定义法 （2）图像法 （3）函数运算法：增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数。 （4）导数法。
考点1 函数的单调性及其应用。
例1】定义在r上的偶函数满足：对任意的（），有，则当时，有（ ）
b例2】已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
例3】已知函数（，常数），若在上为增函数，求的取值范围。
例4】(1)函数的递增区间为。
（2）函数的递减区间为。
（3）函数在上增加的，则的取值范围是
例5】是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如果存在，说明可取那些值；如果不存在，请说明理由．
例6】的定义域为，且对一切，都有，当时，有．(1)求的值；(2)判断的单调性并证明；
3)若，解不等式．
解析】(1)，．
2)设，则由，得，因为，所以．所以．即在上是增函数．
3)因为，所以，原不等式化为：，因为在上是增函数，解得．故原不等式的解集为．
二、奇偶性。
1．奇（偶）函数的定义。
1)如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．
2)如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．
3)如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性．
2．奇偶函数的性质。
1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．
2)奇、偶函数的定义域是关于原点对称的，此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件；若一个奇函数在处有意义，那么．
3)在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数；两偶函数的积（或商）为偶函数；一奇一偶函数的积（或商）为奇函数；两奇函数（或两偶函数）的和、差为奇函数（或偶函数）．
4)奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性．
3．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或用定义的等价形式：
4.性质：5．一些重要类型的奇偶函数。
函数为偶函数，函数为奇函数．
函数(且)为奇函数．
函数为奇函数．
函数为奇函数．
任意一个定义域关于原点对称的函数均可写成一个奇函数与一个偶函数和的形式，则，．
考点2 函数的奇偶性。
例1】若是偶函数，则___
例2】已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是( )
a． bcd．
选a．例3】已知定义在上的奇函数和偶函数满足。
且)，若，则=
abcd．选b．
例4】（1）已知奇函数在定义域上是减函数，且，则的取值范围是。
2）设是定义在上的奇函数，且在上单调递增，又，则的解集为。
例5】（1）函数，则关于x的不等式的解集为。
2）已知函数， ,则（ ）
a． b． c． d．
c三、函数周期性的判定。
如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数，使得对定义域内的任何值都成立．称为这个函数的周期．
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是最小正周期）．
对定义域内任一自变量的值：
1)若，则；(2)若，则；
3)若，则．（）
4)①若有两条对称轴，，则是周期函数且是它的一个周期．
若有两个对称中心，，则是周期函数且是它的一个周期，若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期．
2．如果是函数的周期，则。
判定一个函数是否是周期函数主要通过周期函数的定义．
若是函数的一个周期，通常(∈)也是函数的周期．
考点3 函数的周期性。
例1】定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）
a．0b．1c．3d．5
至少有5个根．
例2】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ．
解析】因为是定义在上且周期为2的函数，所以，从而．又因为=， 即。由，得=，故．
所以，从而．
例3】(1)设是定义在上的奇函数，且， 2，则。
2) 设是定义在上的奇函数，且5，则。
3)对任意的x都有，若的图像关于对称，且，则
四．函数图象的对称性。
考点4 函数图象的对称性。
例1】已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程（）在区间上有四个不同的根，则。
例2】满足，若函数与图像的交点为，则。
a.0b. mc.2md.4m
提示：，则对称中心为。
例3】定义在r上的奇函数，，，则。
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