1 3函数的基本性质

1.3函数的基本性质。

1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性三维目标定向〖知识与技能〗

1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。〖过程与方法〗

借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。〖情感、态度与价值观〗

渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。教学重难点。

重点〗函数单调性的概念。

难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。教学过程设计。

一、问题情境设疑。

引例：画出一次函数和二次函数的图象。（几何画板）

问题：以上两个图象有什么特征？——上升”、“下降”

上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。二、核心内容整合。

1、函数的单调性的概念：

问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？—学生**。

增函数：如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1)

减函数：如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) >f (x2)，那么就说函数f (x)在区间d上是减函数。〖知识提炼〗同增异减。

注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2）必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当时，总有或，分别是增函数和减函数。

2、函数的单调性的定义。

如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做的单调区间。3、基本初等函数的单调性（1）一次函数：

当a > 0时，在上是增函数；当a < 0时，在上是减函数。（2）反比例函数：

当k > 0时，在和上是减函数；当k < 0时，在和上是增函数。（3）二次函数：

当a > 0时，在上是增函数，在上是减函数；当a < 0时，在上是减函数，在上是增函数；

三、例题分析示例。

例1、如图是定义在区间[–5，5]上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2、物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤：

1）取值：设x1 , x2是给定区间上任意的两个值，且x1 < x2；（2）作差变形：f (x1)–f (x2)；（变形手段：

通分、因式分解、配方、有理化等。）（3）定号：确定f (x1)–f (x2)的符号；

4）判断：当f (x1) f (x2)时，是减函数。〖**〗画出反比例函数的图象。（1）这个函数的定义域i是什么？

2）它在定义域i上的单调性是怎样的？证明你的结论。四、学习水平反馈：p32练习，1，2，3，4。五、三维体系构建。

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明。画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：取值——作差——定号——判断。

六、课后作业：p39，习题1.3，a组1，2，3。教学反思。

第二课时函数的最大（小）值三维目标定向〖知识与技能〗

理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

过程与方法〗

借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗

渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点。

函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计。

一、引例。画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：（1）；（2）。

1）说出的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

二、核心内容整合。

1、函数的最大（小）值的概念。

设函数的定义域为i，如果存在实数m满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称m是函数的最大值。

学生类比给出函数最小值的概念：

设函数的定义域为i，如果存在实数m满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称m是函数的最小值。注意：

1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在，使得；

2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有（）。2、一元二次函数的最值：（1）配方：

；（2）图象：（3）a > 0时，；a < 0时，。二、例题分析示例例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。

如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：

1）f (x)在[a , b]上为增函数，则f (a)为最小值，f (b)为最大值；（2）f (x)在[a , b]上为减函数，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。

例3、已知函数，求函数的最大值和最小值。分析：证明函数在给定区间上为减函数。

三、学习水平反馈：p36，练习5。

补充练习：1、函数在区间(–∞6]内递减，则a的取值范围是（）

a）a≥3（b）a≤3（c）a≥–3（d）a≤–32、在已知函数在上递减，在上递增，则在[1，2]上的值域是。

四、三维体系构建。

1、函数的最大（小）值的含义。

2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：

1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；

3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数在区间[a，b]上单调递增，则函数在x = a处有最小值，在x = b处有最大值；

如果函数在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数在x = b处有最小值；五、课后作业：p39，习题1.3，a组5，b组2。教学反思：

第三课时一元二次函数在给定区间的最值。

例1、函数的最小值为，最大值为。练习：函数的最小值为，最大值为。一般结论：

ⅰ）配方，求对称轴；

ⅱ）判断是否属于给定区间[m , n]：①若，则，再求，较大者为最大值；

若，则求，较大者为最大值，较小者为最小值。练习（1）求函数的最大、最小值。（2）求函数的最大、最小值。

例2、求函数在区间[t–1 , t + 1] (t∈r)上的最大值。练习（1）（2024年福建高考）求函数在区间[t , t + 1]上的最大值。

2）设函数f (x) =4x 2–4ax + a 2–2a + 2)在[0, 2]上的最大值为3，求a的值。（3）求函数的最大、最小值。

作业：1、求函数在区间[t , t + 1]上的最大值。2、已知函数。

1）当a =–1时，求f (x)的最值；

2）求实数a的取值范围，使y = f (x)在[–5 , 5]上是单调函数。

1.3.2函数的奇偶性三维目标定向〖知识与技能〗

结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图象理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性，并利用奇偶性简化一些函数的图象。〖过程与方法〗

体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推理、论证的思维方法。〖情感、态度与价值观〗

通过绘制和展示优美的函数图象可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们**、推理的思维能力。

教学重难点。

重点〗奇偶性概念的理解及应用。〖难点〗奇偶性的判断与应用。教学过程设计。

一、问题情境设疑。

引例：1、展示中心对称与轴对称的有关实例。2、观察下列四个函数的图象。

1）（2）（3）（4）问题：以上图象有什么特征？如何由函数值体现？

二、核心内容整合1、偶函数的概念（1）（2）的图象关于y轴对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数。

如：，。

2、奇函数的概念（3）（4）的图象关于原点对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。

奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数。如：（图象关于原点对称）注意：

1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则–x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若为奇函数，则有成立；若为偶函数，则有成立。

4）如果一个函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。三、例题分析示例1、函数奇偶性的判断。

1）定义域关于原点对称；（2）求，如果，则为奇函数；如果，则为偶函数；

例1、判断下列函数的奇偶数：（1）；（2）；（3）；（4）。〖知识提炼〗

3）非奇非偶函数：存在x0，使得且。如。

2、奇偶函数图象的性质。

1）奇函数的图象关于原点对称；

反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数。（2）偶函数的图象关于y轴对称；

反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数。说明：奇偶函数图象的性质可用于：（1）简化函数图象的画法；（2）判断函数的奇偶性。

例2、已知函数是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象。拓展：如果函数是奇函数，图象又如何？

四、学习水平反馈：p36，练习。

五、三维体系构建。

1、两个定义：对于定义域内的任意一个x，（1）如果都有为奇函数；（2）如果都有为偶函数2、两个性质：

一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称。

六、课后作业：p39，习题13，a组6，b组3教学反思。

函数的性质及综合应用（2课时）三维目标定向〖知识与技能〗

进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数的单调性及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。〖过程与方法〗

体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力。〖情感、态度与价值观〗

体会转化化归及数形结合思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。

教学重难点。

函数的单调性、奇偶性的灵活应用。案例背景。

函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，知识内容可浅可深，问题涉及分类讨论、数形结合、探索性，仅用两课时只能作肤浅的介绍，学生掌握的也只是一些皮毛，不能很好地展示函数丰富的内涵。但函数的问题既千姿百态，又有章可循，综合单调性与奇偶性的内容，可以设计出很多具有挑战性的问题，有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于创新思维和实践意识的发展。因此我们设计了《函数的性质及综合应用》这一教学案例，预计用两课时，力图通过种类问题的**，引导学生领略函数内容的精彩，加深对函数性质的深刻理解。

教学过程设计第一课时。

一、温故知新。

1、函数的单调性（概念、判断方法、应用——求函数的最值）；2、函数的奇偶性（概念、图象特征、判断方法）。

二、问题**。

1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定。

单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，对概念的理解要抓住关键词如“任意”“都有”“给定区间”等，同时要明确两者的区别：单调性是反映函数的局部性质，而奇偶性则反映的是函数的整体性质。

例1、已知f (x) =ax 3 + bx–4，若f (2) =6，则f (–2) =

例2、奇函数f(x)在时的表达式是f(x)=x(1–x)，则时，f(x)的表达式为。

练习：（1）已知f (x) =ax 5 + bx 3 + cx + 2，若f (–7) =7，则f (7) =2）偶函数f (x)在时的表达式是f (x) =x (1 +)则时，f (x)的表达式为。

2、奇偶性与单调性的关系。

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，且有成立。

例3、如果偶函数在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，最大值为10，那么在区间[–7，–3]上的单调性和最值如何？

例4、已知f (x)是偶函数，而且在(0, +上是减函数，判断f (x)在(–∞0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

练习：已知y = f (x)是奇函数，它在(0, +上是增函数，且f (x) <0，问在(–∞0)上是增函数还是减函数？证明你的结论。

第二课时。3、函数性质的应用。

函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，运用函数的性质可研究区间、最值的求解，亦可深入研究函数图象的特征。

利用函数的单调性和奇偶性，可以将“抽象”化为具体，使问题简化，这也是等价转化思想方法的重要体现。例5、若偶函数f (x)在(–∞0)上是增函数，则满足的实数a的取值范围是。

例6、已知函数f (x)对任意x , y总有f (x + y) =f (x) +f (y)，且当x > 0时，f (x) <0,（1）求证：f (x)是奇函数；

2）求证：f (x)是r上的减函数；

3）求f (x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。

练习（1）已知奇函数f (x)在(–1, 1)上单调递减，且f (1 - a) +f (1–2a ) 0，则实数a的取值范围是。

2）设函数f (x)的定义域为r且x≠0，对任意非零实数x1, x2满足f (x1x2) =f (x1) +f (x2)，（1）求f (1)的值；

2）判断f (x)的奇偶性。

例7、如果函数对任意实数t，都有，那么的大小关系是。结论：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（2）二次函数的对称轴为，即。

拓展〗函数y = f (x)的图象关于直线x = t对称的充要条件是：f (t + x) =f (t–x)，即f (x) =f (2t–x)。

例8、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场**得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；

ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

例9、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。已知函数。（1）当a = 1，b =–2时，求函数的不动点；

2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围。

1 3函数的基本性质

函数的基本性质

函数的基本性质

函数的基本性质

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