1．(2023年皖南八校联考)设函数f(x)是定义在r上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(
a．3b．－3
c．2d．7
解析：选c.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选c.
2．(2023年高考福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
a．f(xb．f(x)＝(x－1)2
c．f(x)＝exd．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选a.由题意知函数f(x)在(0，＋∞上是减函数，在a中，由f′(x)＝－0得f(x)在(－∞0)和(0，＋∞上为减函数；
在b中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞1)上为减函数．
在c中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在r上为增函数．
在d中，由f′(x)＝且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞上为减函数．
3．已知函数f(x)为r上的减函数，则满足f(||f(1)的实数x的取值范围是( )
a．(－1,1b．(0,1)
c．(－1,0)∪(0,1d．(－1)∪(1，＋∞
解析：选c.∵f(x)在r上为减函数且f(||f(1)，|1，即|x|＜1且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.
4．(原创题)已知f(x)＝x2＋x，则f(af(1)．(填“≤”
解析：∵a＋≥2或a＋≤－2，f(x)的对称轴为x＝－.
f(x)在(－，上为增函数，在(－∞上为减函数．
又f(2)＝22＋2＝6>2＝f(1)，f(－2)＝(2)2＋(－2)＝2＝f(1)，f(a＋)≥f(1)．
答案：≥5．(2023年高考上海卷)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈r)是偶函数，且它的值域为(－∞4]，则该函数的解析式f(x
解析：由于f(x)的定义域为r，值域为(－∞4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)
bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
f(x)为偶函数，其对称轴为x＝0，∴－0，2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞4]矛盾，∴a≠0，若b＝－2，又其最大值为4，＝4，∴2a2＝4，f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
6.已知函数f(x)＝－a＞0，x＞0)．
1)求证：f(x)在(0，＋∞上是增函数；
2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
解：(1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0.
f(x2)－f(x1)＝(
－＝＞0，f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞上是增函数．
2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，又f(x)在[，2]上单调递增，f()＝f(2)＝2，代入可得a＝.
练习。1．对于定义在r上的任何奇函数，均有( )
a．f(x)·f(－x)≤0b．f(x)－f(－x)≤0
c．f(x)·f(－x)＞0d．f(x)－f(－x)＞0
解析：选a.∵f(－x)＝－f(x)，f(x)·f(－x)＝－f(x)]2≤0.
2．(2023年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是( )
解析：选b.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x>0的图象保留，x<0部分的图象关于y轴对称而得到的．
3．在r上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(
a．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数。
b．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数。
c．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数。
d．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数。
解析：选b.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．
a．－1b．1
c．6d．12
解析：选c.由题意知。
当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
5．(2023年高考福建卷)定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
a．y＝x2＋1b．y＝|x|＋1
c．y＝ d．y＝
解析：选c.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝在(－2,0)上为增函数．
y＝在(－2,0)上为减函数，故选c.
6．(2023年高考陕西卷)定义在r上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈n*时，有( )
a．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
b．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
c．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
d．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
解析：选c.对任意x1，x2∈(－0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞0]上是增函数．由于n∈n*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．
7．函数f(x)在r上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x
解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－1)
即x＜0时，f(x)＝－1)＝－1.
答案：－－1
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是___
解析：y＝－(x－3)|x|
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．
答案：[0，]
9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围为___
解析：易知原函数在r上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)＜0f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－xxm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f(m)＝xm＋x－2，此时只需即可，解之得－2＜x＜.
答案：(－2，)
10．求证：f(x)＝在(0,1]上是减函数．
证明：设x1，x2∈(0,1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
x1，x2∈(0,1]，且x1∴－>0,1－>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)＝在(0,1]上是减函数．
11．已知函数f(x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，有。
解得－1≤m≤，①
又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)1－m>m2－1，即－2综合①②可知，－1≤m<1.
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
1)求实数m的值；
2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知。
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
函数的基本性质
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