知识链接：1．若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为。
解：由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即。
2．则a的范围为。
提示：21<0时该函数是r上的减函数，
3．函数的单调增区间为。
4．求函数的单调区间。
解：首先确定定义域：令x2－2x－3≥0.所以。
设u=x2－2x－3，则y=.因y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，所以当x≥3时，y是x的增函数。又当 x≤－1时，u是减函数，所以当x≤－1时，y是x的减函数。
所以y=的单调递增区间是[3,+ 单调递减区间是。
5．已知是上的减函数，那么的取值范围是
解： 知识建构：
例1．证明函数在上是减函数．
证法一：（定义法）对任意，
即，在上是减函数。
证法二：（导数法）∵，在上是减函数．
例2．求函数的单调区间。
解法一】定义法 f(x)的定义域未，下面分两种情况：
1）当时，任取且，则，当时，，∴为减函数。
当时，，∴为增函数。
2) 当时，同理可求得，当时，为减函数；当时，为增函数。
解法二】导数法∵
令或，∴的单调递增区间为。
令或，∴的单调递减区间为。
拓展一：求函数的单调区间。
解】，即。函数图像如图所示。
单调增区间为，单调减区间为。
拓展二：求函数的单调增区间。
解：函数定义域为。
设u=x2－2x－3，则y=.
因y=在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，所以当x≥3时，y是x的增函数；
又当 x≤－1时，u是减函数，所以当x≤－1时，y是x的减函数。
所以y=的单调递增区间是[3,+ 单调递减区间是(－∞1]
例3．已知函数，若则实数的取值范围是
解】由题知在上是增函数，因为所以，解得。
例4．求函数的值域。
解】令，∴定义域为。
令，；∵函数，在定义域上均单调递增。
函数在定义域上单调递增，∴函数的值域为。
例5．若函数在上是增函数，则实数的取值范围为
解】二次函数的对称轴是，由二次函数的图像我们可以知道，即；
变式一：已知是上的减函数，那么的取值范围是
解： 变式二：若在是x的减函数，则a的取值范围是。
解】设u=2-ax， 由对数概念显然有a＞0，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，又u=2-ax在［0，1］上应恒大于零。∴，得。
例6．设是定义在r上的函数，对任意恒有，且当时，。
1）求证2）证明：时恒有；
3）求证：在r上是减函数； （4）若，求的范围。
解】(1)取则，因为所以。
(2) 设则，由条件可知；
取，则，所以。
时，恒有。3）设，则，所以，下面设法证明。
因为，又由（2）知，所以。
所以，即该函数在r上是减函数。
4)解： 因为，所以，由（3）知，在r上是减函数。所以，所以。
反馈练习。1. 函数y＝的递减区间是1, ＋1]
2．已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为
提示：数形结合［1，2］
3．若在是x的减函数，则a的取值范围是。
解】由对数概念显然有a＞0，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，又u=2-ax在［0，1］上应恒大于零。∴，得，∴
达标检测。1．作出函数的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间。
解：当时，
当时， 由函数图象可以知道函数减区间为。
函数增区间为。
2．如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围。
解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.
3.设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的的取值范围。
解：由题意可知：，又，于是不等式可化为，因为函数在上为增函数，所以不等式可转化为：,解得：，所以的取值范围是。
4．函数在上是增函数，求的取值范围．
解：∵函数在上是增函数，∴对任意的有，即，得，即，，∴要使恒成立，只要；
又∵函数在上是增函数，∴，即，综上的取值范围为．
另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上是增函数，，，且在上恒成立，得．
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第2讲 函数的性质 讲义
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