如： 设a△b=a+b+ab
定义新运算可以作为一类数学问题，如：
x,y表示两个数，规定新运算"*"及"△"如下：x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k均为自然数，已知 1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值。
分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求(1△2)*3的值，首先我们要计算1△2,根据"△"的定义：1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值。k值求出后，1△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2)*3=a*3,按"*"的定义： a*3=ma+3n,在只有求出m,n时，我们才能计算a*3的值。因此要计算(1△2)* 3的值，我们就要先求出 k,m,n的值。
通过1*2 =5可以求出m,n的值，通过(2*3)△4=64求出 k的值。
解因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n
=5.又因为m,n均为自然数，所以解出：
①当m=1,n=2时：
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64,解出k=2.
②当m=3,n=1时：
=9△4=k×9×4=36k
所以m=l,n=2,k=2.
我们学过的常用运算有：＋、等。 如：
2＋3＝5，2×3＝6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。
可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。
在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的运算不相同。我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，求 3△2， 2△3；
这个运算“△”有交换律吗？
③求（17△6）△2，17△（6△2）；
④这个运算“△”有结合律吗？
⑤如果已知4△b＝2，求b.
分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
由①的例子可知“△”没有交换律。
要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步。
39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.
对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次。
17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.
由③的例子可知“△”也没有结合律。⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.
例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
②求12※（3※4），（12※3）※4；
③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.
解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.
要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
b※a＝b×a－（b＋a）
＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）
所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律。
由②的例子可知，运算“※”没有结合律。
④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
3※（5※x）＝3※（4x－5）
＝3（4x－5）－（3＋4x－5）
＝12x－15－（4x－2）
＝ 8x－ 13
那么 8x－13＝3
解出x＝2.
这个运算有交换律和结合律吗？
例3 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。
分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值。k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
1△2)*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值。因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值。
通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值。
解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
①当m=1，n=2时：
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
=9△4=k×9×4=36k
所以m=l，n=2，k=2.
在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值。还有一个值得注意的问题是：
定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。
例4 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例5 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？
分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有。
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
例6 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
1） 求12☆21的值；
2） （2）已知6☆x=27，求x的值。
分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。
因为a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。
例7 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。
对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例8 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
（2）f（g（2））+g（f（2））
=f（2×2）+g（2×2+1）
=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
定义新运算
教学内容 定义新运算。教学时间 2014 6 24 教学目标 知识目标1 熟悉定义新运算的意义。2 掌握新旧转化的方法3 熟悉定义新运算的类型。2 能力目标会用替代法。3 培养学生对数和字母应用的理解，从而开拓学生的思。维和视野。教学重点 新旧运算符号的转化教学难点 对替代法解题的应用教学方法 讲授...
定义新运算
一 知识要点。1 我们学过的常用运算有 等。如 2 3 5，2 3 6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们...
定义新运算
1 规定 a b b a b，那么 2 3 5得多少？ab2 规定 a b 则 2 5 3 得多少？ba3 规定 a b 若6 x 22 3，则x是多少？4 如果a b表示 a 2 b，例如3 4 3 2 4 4，当a 5 30时，那么a是多少？5 已知a，b是任意有理数，我们规定 a b a b ...