学锐教育学生课程讲义。
二次函数的性质：
用待定系数法求二次函数的解析式：
用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：
1）设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)（若已知条件是图象上的三个点，根据不同条件代入所设一般式，求出的值）
2）设顶点式y=a（x－h）2＋k(a≠0)（若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，将已知条件代入所设的顶点式，求出待定系数）
二次函数与一元二次方程的关系：
二次函数与一元二次方程有着密切的关系， 二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应的方程的实数根， 抛物线与轴的交点情况可由对应的方程的根的判别式的符号判定：
1）有两个交点＞0方程有两个不相等的实数根。；
2）有一个交点＝0方程有两个相等的实数根；
3）没有交点＜0方程没有实数根。
二次函数的图象特征及判别式的符号之间的关系：注意：1）
3）的大小决定抛物线与y轴的交点位置，当时， 抛物线过原点；
当时， 抛物线与y轴交于正半轴；时， 抛物线与y轴交于负半轴；
4）的符合决定抛物线的对称轴的位置。 当时， 对称轴为y轴；
当，对称轴在y轴左侧； 当时， 对称轴在y轴右侧。
二次函数图像的平移：
将抛物线一般式用配方法可化成顶点式的形式， 而任意抛物线均可由平移得到。
对称轴】1、抛物线的对称轴是直线（ ）
a． b． c． d．
顶点】1、 抛物线的顶点坐标是（ ）
a．（2，3） b．（－2，3） c．（2，－3） d．（－2，－3）
顶点】2、抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
a． b． c． d．
顶点】3、二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
a． b． c． d．
顶点】4、抛物线的顶点坐标为。
a）（-2，7） （b）（-2，-25） （c）（2，7） （d）（2，-9）
平移】1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
a． b． c． d．
平移】2、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
a． b． c． d．
平移】3、将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为。
a．1 b．2 c．3 d．4
平移】4、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为。
a． b．c． d．
平移】5、把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）
（a） （b） （c） （d）
最值】1、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2 bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
(a) 第8秒 (b) 第10秒 (c) 第12秒 (d) 第15秒 。
最值】2、二次函数的最小值是（ ）
a．2 b．1 c．－3 d．
最值】3、已知二次函数 ， 为常数，当y达到最小值时，x的值为。
a） （b） （c） （d）
对称轴、最值】如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
a． b． c． d．
符号】1、已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：④，其中正确的个数有（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
符号】2、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
a．a＜0
b．c＞0c．＞0
d．＞0符号】3、已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a－b中，其值大于0的个数为（ ）
a．1b 2c、3d、4
符号】4、不论x为何值，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( )
符号】5、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
图像】1、(3)已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时，它的图象经过。
a.一、二、三象限b.一、二、四象限。
c．一、三、四象限d.一、二、三、四象限。
图像】2、(2023年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴。
a．只有一个交点。
b．有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
c．有两个交点，且它们均在y轴同侧。
d．无交点。
图像】3、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
图像】4、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
a、y=x2-x-2b、y=
c、y= d、y=
图像】5、二次函数的图象如图2所示，若点a（1，y1）、b（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是。
a． b． c． d．不能确定。
课后练习：一、选择题。
下列函数中，是二次函数的是（ ）
a． b． c． d．
2．抛物线的顶点坐标是。
a、（2，0b、（-2，0c、（1，-3d、（0，-4）
3．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （
a、x= -b/a bcd、
4．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数的图象经过的象限是 （
a、第。三、四象限 b、第。
一、二象限 c、第。
二、三、四象限 d、第。
一、二、三象限。
5．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为。
a、b、 c、 d、
6．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
a .y=x2+2x－2 b. y=x2+2x+1 c. y=x2－2x－1 d .y=x2－2x+1
7.下列判断中唯一正确的是( )
a.函数y=ax2的图象开口向上，函数y= -ax2的图象开口向下。
b.二次函数y=ax2,当x<0时，y随x的增大而增大。
与y= -2x2图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同。
d.抛物线y=ax2与y=--ax2的图象关于x轴对称。
8．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图 （
9．二次函数的图象如图，则下列关于a，b，c间的函数关系判断正确的是（ ）
a． b． c． d．
10、二次函数的图象在轴上截得的线段长为（ ）
a、 b、 c、 d、
二、填空题。
11、若是二次函数，则＝__
12、抛物线的对称轴为直线___顶点坐标为___与轴的交点坐标为___
13、写出一个经过（0，－2）的抛物线的解析式。
14、若二次函数的图象经过原点，则m
15、抛物线与x轴交点的坐标为。
16、函数有最___值，最值为___
17、已知函数的图象关于y轴对称，则m
18、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第___象限；
三、解答题。
19．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过a 、b、c三点，1）观察图象，写出a 、b、c三点的坐标，并求出抛物线解析式，2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴c
3）观察图象，当x取何值时，y<0？y=0？y>0?
九年级数学二次函数 16 二次函数复习
第周星期班别姓名学号 一 填空。1 若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 2 函数y 3x2与直线y kx 3的交点为 2，b 则k b 3 抛物线y x 1 2 2可以由抛物线y x2向 方向平移 个单位，再向 方向平移 个单位得到。4 把y x2 x 化为y a x h...
九年级数学二次函数 16 二次函数复习
第周星期班别姓名学号 一 填空。1 若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 2 函数y 3x2与直线y kx 3的交点为 2，b 则k b 3 抛物线y x 1 2 2可以由抛物线y x2向 方向平移 个单位，再向 方向平移 个单位得到。4 把y x2 x 化为y a x h...
九年级数学二次函数
二次函数。一 知识概述 看初中数学总复习52页，填空 轻巧46页。二 例题讲解 一 根据函数性质判定函数图象之间的位置关系。例1.已知 函数y a0 的图像所示，试判断 a 0,b 0,c 0,0,二 比较大小。例2.已知点a 5,b 2，c 3，都是二次函数图像上的点，则。三 抛物线与x轴 y轴的...