九年级数学二次函数

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c

顶点坐标(0，0)(h，0)(h，k)

-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

对称轴x=0x=hx=hx=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离ab=|x-x|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－a |（a为其中一点）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式。

1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是()

a)直线x=1(b)直线x=-1(c)直线x=2(d)直线x=-2考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：

y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项a正确．

另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选a．

2．(北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．考点：

二次函数y=ax2+bx+c的求法评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是a(x1，0)，b(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2).∵抛物线对称轴是直线x=4，x2-4=4 - x1即：

x1+ x2=8①

s△abc=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，即：x2- x1=②

②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-

x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±

当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±

因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)即：y=x2-x+1或y=-x2+x-1或y=x2-x+3或y=-x2+x-3

说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：

猜测与x轴交点为a(5，0)，b(3，0)。再由题设条件求出a，看c是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

5．(河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于a、b两点，交y轴于点c，则△abc的面积为()a、6b、4c、3d、1

考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。

评析：由函数图象可知c点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以a、b两点之间的距离为2。那么△abc的面积为3，故应选c。图13-28

6．(安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.

1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。

1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

2)第10分时，学生的接受能力是什么？(3)第几分时，学生的接受能力最强？考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。

评析：将抛物线y=-0.1x2+2.

6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.

9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。

将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

解：(1)y=-0.1x2+2.

6x+43=-0.1(x-13)2+59.9

所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。(2)当x=10时，y=-0.

1(10-13)2+59.9=59。第10分时，学生的接受能力为59。

(3)x=13时，y取得最大值，所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

9．(河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为。

(55–40)×450=6750(元)．

2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是：(x–40)元，所以月销售利润为：

y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．

3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，即：x2–140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80．

当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：

40×400=16000(元)；

当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：

40×200=8000(元)；

由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

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