九年级数学尖子生辅导提升
辅助圆问题。
考点一：共顶点等线段问题。
1. 如图1，在直角梯形中，点是线段上一动点，将沿翻折到，连结。当点在上运动时，分别求的最小值。
2. 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
3. 已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．
如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是此时___
如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；
考点二：定边对定角问题。
1. 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
2. 如图，正方形边长为2，点是正方形内一动点，，连结，求的最小值。
3. 如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．
4.如图，，一把直角三角形尺的两个顶点分别在上移动，，求点到距离的最大值。
5. 如图，正三角形边长为2，射线，点是射线上一动点(不与点重合)，外接圆交于点，求的最小值。
6. 在矩形abcd中，点p在ad上，ab=2，ap=1，将三角板的直角顶点放在点p处，三角板的两直角边分别能与ab、bc边相交于点e、f，连接ef．
如图，当点e与点b重合时，点f恰好与点c重合，求此时pc的长；
将三角板从⑴中的位置开始，绕点p顺时针旋转，当点e与点a重合时停止，在这个过程中，请你观察、**并解答：
∠pef的大小是否发生变化？请说明理由；
直接写出从开始到停止，线段ef的中点所经过的路线长．
考点三：四点共圆问题。
1. 如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．
2. 如图，在正△abc中，点d，e分别在边ac，ab上，且ad=ac，ae=ab，bd，ce相交于点f。
1）求证：a、e、f、d四点共圆；
2）若正△abc的边长为2，求a、e、f、d所在圆的半径。
3. 如图，在△abc中，∠c为钝角，点e，h分别是边ab上的点，点k和m分别是边ac和bc上的点，且ah=ac，eb=bc，ae=ak，bh=bm。
1）求证：e、h、m、k四点共圆；
2）若ke=eh，ce=3，求线段km的长。
4. 如图，ap是圆o的切线，a是切点，ad⊥op于d点，过点p作圆o的割线与圆o相交于b，c两点。
1）证明：o、d、b、c四点共圆。
2）设∠opc=30°，∠odc=40°，求∠dbc的大小。
考点四：最大张角问题。
1. （1）如图1，在矩形中，，，如果边上存在点，使为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形，并求出此时的长。
(2)如图2，在中，，,是边上的高，，分别为边，的中点。当时，边上存在一点，使，求此时的长。
3)有一山庄，它的平面图为如图3的五边形。山庄保卫人员想**段上选一点安装监控装置，用来监视边，现只要使大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知， m， m， m， m,问**段上是否存在点，使？
若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由。
2. 如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点。
1)使的点有个。
2)若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标。
3)当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由。
练习反馈：1. 如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．
求证：是等边三角形；
点**段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．
若，直接写出的度数；
若点**段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；
3. 如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，求的长．
4. 设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．
5. 如图，已知ab为半圆o的直径，be、cd分别为半圆的切线，切点分别为b、c，dc的延长线交be于f，ac的延长线交be于e。ad⊥dc，d为垂足。
1）求证：a、d、f、b四点共圆；
2）求证：ef=fb。
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