第7讲辅助圆。
知识点归纳。
在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：
1、利用圆的定义添补辅助线；
2、作三角形的外接圆；
3、运用四点共圆的判定方法：
1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
2）同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。
3）若四边形的对角线相交于p，且，则它的四个顶点共圆。
4）若四边形的一组对边ab、cd的延长线相交于p，且，则它的四个顶点共圆。
例题精讲。例1】如图，四边形中 ，ab=ac=ad,e是cb的中点，ae=ec。则ab
鄂州市中考题）
思路点拨有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从而可推导、为特殊角。
例2】如图，若pa=pb，与交于点，且则( )
a.6b.7c.12 d.16
“ti”杯全国初中数学竞赛题）
思路点拨作出以p点为圆心、pa长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。
例3】如图，在中，，任意延长到，再延长到，使，求证：的外心与、、四点共圆。
思路点拨先作出的外心，连接、，将问题转化为证明角相等。
例4】如图，垂足分别为b、c。
1），时，**段上是否存在点，使？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
2）设， ,那么当、、之间满足什么关系时，在直线上存在点，使。
南京市中考题）
思路点拨对于（2），点p在以ad为直径的上，又点p在bc上，表明与bc相交或相切。
旋转与圆。例5】如图，已知正方形在直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点。等腰直角三角板的直角顶点在原点，、分别在、上，且，。
将三角板绕o点逆时针旋转至的位置，连接、。
1）求证：;
2）若三角板oef绕o点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得？若存在，请求出此时e点的坐标；若不存在，请说明理由。
（潍坊市中考题）
例6】如图，是外一点，pa切于，是的割线，于。求证。
四川省联赛题）
分析因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定与相似证明。，b、c、o、d共圆，这样连接ob，就得到多对相似三角形，以此达到证明的目的。
基础练习。1、如图，已知矩形和矩形全等，点、、在同一条直线上，的顶点**段上移动，使为直角的点的个数是个。
陕西省中考题）
第1题第2题第3题。
2、如图，和的半径分别为1和2，连接，交于点p， =5.若将绕点p按顺时针方向旋转，则和共相切次。
鄂尔多斯中考题）
3、如图，已知，且，则是的倍。
4、如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米。如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路mn上沿方向以73千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
a.12秒b.16秒 c.20秒 d.24秒。
武汉市中考题）
5、如图，矩形中，， 点是折线段上的一个动点（点与点不重合），点是点关于的对称点。在点e运动的过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（ ）
a.2个b.3个 c.4个 d.5个。
济南市中考题）
6、如图，在中，弦于e点，弦于f，连接，与相交于点，则下列结论：①弧弧；②;其中正确的结论的个数有。
a.1个b.2个 c.3个 d.4个。
7、如图，已知中，，，是边上的动点（与点、不重合），是边上的动点（与点、不重合）。
1）当，且为的中点时，求线段的长；
2）当与不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由。
广州市中考题）
8、如图，已知中，是高，是角平分线，且，。求证：（1）；（2
陕西省竞赛题）
能力拓展。9、如图，正方形的中心，面积为1989，为正方形内一点，且，则的长为。
北京市竞赛题）
10、如图，在中，边上有100个不同的点、、.记，则。
11、如图，在四边形中，，若，则。
第20届江苏省竞赛题）
12、如图，为半圆的直径，为半圆上一点，点在的延长线上，且连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则 .
第19届江苏省竞赛题）
13、如图，已知在凸五边形中，且求证：
全国初中数学联赛题）
14、如图，是外一点，和是的切线，、为切点，与交于点，过任作的弦。求证：。
综合创新。15、如图，、分别是的角平分线、高线，是的中点，的外接圆与交于点，证明：
四川省竞赛题）
16、如图，在中， 分别在边、上取点、，使得试确定的度数。
北京市竞赛题）
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