第5讲圆中比例线段。
知识点归纳。
角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理。
如图①，若圆内两条弦、交于点，则。
2、切割线定理。
如图②，若从圆外一点引圆的切线，和割线，则。
3、割线定理。
如图③，若从圆外一点引圆的两条割线、，则。
例题精讲。例1】如图，已知是的直径，弦与交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，,点为的中点，则___
全国初中数学联赛题)
思路点拨设法求出，的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。
例2】如图，在平行四边形中，过、、三点的圆交于点，且与相切，若则的长为（ ）
a.3 b.4 c. d.
全国初中数学联赛题）
思路点拨连、,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。
例3】如图，已知是的外接圆，是的直径，是劣弧的中点，交于点。
1）求证：;
2）若求的长。
泸州市中考题）
思路点拨对于（1），只需证明∽。
例4】如图，已知为的直径且，是的一条弦，直线交直线于点，
1）求证：直线是的切线；
2）求的值。
呼和浩特市中考题）
思路点拨对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。
例5】如图，是半圆o的直径，d是弧中点，四边形的对角线、交于点。
1）求证：；
2）若求弦和直径的长。
天津市竞赛题）
分析由条件延长、交于一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。
寻找不变性。
例6】如图，是半圆o的直径，射线、为半圆o的切线。在上取一点，连接交半圆于点，连接。过o点作的垂线，垂足为点，与相交于点过点作半圆o的切线，切点为，与相交于点。
1）求证： ∽
2）求证：当d在上移动时（a点除外），点始终是线段的中点。
潍坊市中考题）
思路点拨对于（2），即要证明不妨从比例线段入手，能发现图中多对相似三角形是证题的关键。
基础练习。1、如图，已知、、、是上的四个点， 交于点e，则的长为黑龙江省中考题)
2、如图，、为的两条割线，若则。
3、如图，、是的两条线，它们相交于点，连接、，已知那么的长是。
4、如图，在中，以为直径作圆与斜边交于点，则的长为（ ）
a.6.4 b.3.2 c.3.6 d.8
5、如图，已知为的直径，切于，切于，交的延长线于。若则的长为（ ）
a.2 b.3 c.3.5 d.4
6、如图，与的斜边切于点，与直角边交于点，且。已知则的半径是（ ）
a.3 b.4 c. d.
7、如图，在锐角中，是最短边，以中点为圆心，长为半径作，交于，过作交于点，连接、、。
1）求证：是弧的中点；
2）求证：；
3）若，且求的长。
桂林市中考题）
8、如图，在圆内接四边形中，为的外角的平分线，为弧上一点，延长与的延长线交于。
1）求证：为等腰三角形；
2）求证：.
黄冈市中考题)
9、如图，已知是的直径，连接，弦，直线交直线于。
1）求证：直线是的切线；
2）**线段与之间的数量关系，并加以证明；
3）求的值。
襄阳市中考题）
能力拓展。10、如图，已知中，以为圆心，为半径作圆交的延长线于点，则的长为。
太原市竞赛题）
11、如图，为圆的直径，若则。
第19届江苏省竞赛题）
12、如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，则。
13、如图，是的内接正三角形，弦经过的中点，且，若则的长（ ）
14、如图，已知为的直径，为上一点，延长至，使，于，交于，交于，求证：.
太原市竞赛题）
15、如图，已知中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点使，延长依次交于，交于。
1）求证：；
2）若的直径等于10，求的长。
宜宾市中考题）
16、如图，、是的两条切线，是一条割线，是与的交点，若求的长。
综合创新。17、如图，圆中的三条线、、两两相交，交点分别为、、，已知，求证：是等边三角形。
北京市竞赛题）
18、 已知：如图，以矩形的对角线的中点为圆心，长为半径作，经过、两点，过点作，垂足为。过作，分别与、、及的延长线相交于点、、、
1)求证：；
(2)如果， (为大于零的常数)，求的长：
3)若是的中点，且，求的半径和的长．
成都市中考题）
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