三．圆周角与圆心角。
考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．
eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． eg: 如下三图，请证明。
考点34. 推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
经典例题。例1：下图中是圆周角的有是圆心角的有。
例2：如图，∠a是⊙o的圆周角，且∠a＝35°,则∠obc=__
例3：如图，圆心角∠aob=100°，则∠acb= ．
例４：如图１，是⊙o的直径，点都在⊙o上，若，则 ．
例5 如图2，⊙o的直径过弦的中点，，则 ．
例6：已知：如图，ad是⊙o的直径，∠abc=30°，则∠cad=__
例7：已知⊙o中，，，则⊙o的半径为 ．
例8 已知：如图所示，是⊙o的内接三角形，⊙o的直径bd交ac于e，af⊥bd于f，延长af交bc于g
求证： 考点练习。
1.如图，已知是⊙o的圆周角，，则圆心角是（ ）
a． b. c. d.
2.已知：如图，四边形abcd是⊙o的内接正方形，点p是劣弧上不同于点c的任意一点，则∠bpc的度数是（ ）
a．45° b．60° c．75° d．90°
3.△abc中，∠a＝30°，∠b＝60°，ac＝6，则△abc外接圆的半径为（ ）
ab． cd．3
4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
a．30° b．150° c．30°或150° d．60°
6.下列命题中，正确的是（ ）
顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等。
abcd．②④
7.如图，⊙o是等边三角形的外接圆，⊙o的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）
a． b． c． d．
8.如图，△abc内接于⊙o，∠bac=120°，ab=ac，bd为 ⊙o的直径，ad=6，则bc＝ 。
9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视。
器台。10.如图，量角器外沿上有a、b两点，它们的读数分别是°，则∠1的度数为。
11.如图， ab是⊙o的直径，点c在⊙o上，∠bac=30°，点p**段ob上运动。设∠acp=x，则x的取值范围是。
12.如图所示，小华从一个圆形场地的a点出发，沿着与半径oa夹角为α的方向行走，走到场地边缘b后，再沿着与半径ob夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧ab上，此时∠aoe＝56°，则α的度数是 .
15.如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝5，cb＝12，ad是△abc的角平分线，过a、c、d三点的圆与斜边ab交于点e，连接de。
1）求证：ac＝ae；
2）求△acd外接圆的半径。
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理。
圆心角， 弧，弦，弦心距之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例1．如图所示，点o是∠epf的平分线上一点，以o为圆心的圆和角的两边分别交于a、b和c、d，求证：ab=cd．
例2、已知：如图，ef为⊙o的直径，过ef上一点p作弦ab、cd，且∠apf=∠cpf。
求证：pa=pc。
例3．如图所示，在中，∠a=，⊙o截的三条边长所得的三条弦等长，求∠boc.
例4．如图，⊙o的弦cb、ed的延长线交于点a，且bc=de．求证：ac=ae．
例5．如图所示，已知在⊙o中，弦ab=cb，∠abc=，od⊥ab于d，oe⊥bc于e．
求证：是等边三角形．
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