1,（2007西安）如图，⊙o的半径均为r．
1）请在图①中画出弦ab，cd，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦ab，cd，使图②仍为中心对称图形；
2）如图③，在⊙o中，ab=cd=m（0＜m＜2r），且ab与cd交于点e，夹角为锐角α．求四边形acbd的面积（用含m，α的式子表示）；
3）若线段ab，cd是⊙o的两条弦，且ab=cd= r，你认为在以点a，b，c，d为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
考点：圆的认识；轴对称图形；中心对称图形；解直角三角形．
专题：综合题；压轴题；开放型．
分析：（1）使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；可让弦ab=cd且ab与cd不平行（相交时交点不为圆心）．使图②仍为中心对称图形；可让ab=cd且ab∥cd，也可让ab，cd作为两条圆内不重合的直径．
2）可以以cd或ab为底来求两三角形的面积和，先作高，然后用ae，be（ce，de也可以）和sinα表示出这两个三角形的高，然后根据三角形的面积公式可得出 cd×（ae+be）sinα，ae+be正好是ab的长，因此两三角形的面积和就能求出来了．
3）要分两种情况进行讨论：
当两弦相交时，情况与（2）相同，可用（2）的结果来得出四边形的面积（此时四边形的面积正好是两个三角形的面积和）．
当两弦不相交时，我们可连接圆心和四边形的四个顶点，将四边形分成4个三角形来求解，由于ab=cd= r，那么我们可得出三角形oab和ocd应该是个等腰直角三角形，那么他们的面积和就应该是r2，下面再求出三角形aod和boc的面积和，我们由于∠aod+∠boc=180°，我们可根据这个特殊条件来构建全等三角形求解．延长bo交圆于e，那么三角形aod就应该和三角形ceo全等，那么求出三角形bce的面积就求出了三角形aod和boc的面积和，那么要想使四边形的面积最大，三角形bec中高就必须最大，也就是半径的长，此时三角形bec的面积就是r2，三角形bec是个等腰直角三角形，那么四边形abcd就是个正方形，因此四边形abcd的最大面积就是2r2．因此当∠aod=∠boc=90°时，四边形abcd的面积就最大，最大为2r2．
解答：解：（1）答案不唯一，如图①、②
2）过点a，b分别作cd的垂线，垂足分别为m，n，s△acd= cdam= cdaesinα，s△bcd= cdbn= cdbesinα，s四边形acbd=s△acd+s△bcd= cdaesinα+ cdbesinα
cd（ae+be）sinα= cdabsinα= m2sinα．
3）存在．分两种情况说明如下：
当ab与cd相交时，由（2）及ab=cd= 知s四边形acbd= abcdsinα=r2sinα，当ab与cd不相交时，如图④．
ab=cd= ，oc=od=oa=ob=r，∠aob=∠cod=90°．
延长bo交⊙o于点e，连接ec，则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
△aod≌△coe．
s△aod=s△oce
s△aod+s△boc=s△oce+s△boc=s△bce
过点c作ch⊥be，垂足为h，则s△bce= bech=rch．
当ch=r时，s△bce取最大值r2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形abcd是边长为的正方形时，s四边形abcd=r2+r2=2r2为最大值．
点评：本题主要考查了圆内轴对称和中心对称图形的区别以及解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点．在求三角形的面积时，要根据已知的条件来选择底边，这样可使解题更加简便．
2.（2006吉林）如图，圆心为点m的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注a的图形面积都是sa，所有标注b的图形面积都是sb．
1）求标注c的图形面积sc；
2）求sa：sb．
考点：圆的认识．
分析：（1）根据半圆的面积公式即可求得其面积；
2）观察图形可知5sb+3sa+sc= π52；3sa+sc= π32从而求出sa、sb
解答：解：（1） ．1分）
（3分）
（5分）
即sa：sb=5：6（6分）
点评：本题考查圆的面积及不规则图形面积的求法．
3.（2010南通）如图，⊙o的直径ab垂直弦cd于m，且m是半径ob的中点，cd=8cm，求直径ab的长．
考点：垂径定理；勾股定理．
分析：连接oc，根据垂径定理可求cm=dm=4，再运用勾股定理可求半径oc，则直径ab可求．
解答：解：连接oc，直径ab⊥cd，cm=dm= cm，（2分）
m是ob的中点，om=
由勾股定理得：
oc2=om2+cm2
，oc= cm（3分）
直径ab的长= cm．（1分）
点评：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
4.（2010南充）如图，△abc内接于⊙o，ad⊥bc，oe⊥bc，oe= bc．
1）求∠bac的度数；
2）将△acd沿ac折叠为△acf，将△abd沿ab折叠为△abg，延长fc和gb相交于点h；求证：四边形afhg是正方形；
3）若bd=6，cd=4，求ad的长．
考点：垂径定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）连接ob、oc，由垂径定理知e是bc的中点，而oe= bc，可判定△boc是直角三角形，则∠boc=90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠bac的度数；
2）由折叠的性质可得到的条件是：①ag=ad=af，②∠gaf=∠gad+∠daf=2∠bac=90°，且∠g=∠f=90°；由②可判定四边形aghf是矩形，联立①的结论可证得四边形aghf是正方形；
3）设ad=x，由折叠的性质可得：ad=af=x（即正方形的边长为x），bg=bd=6，cf=cd=4；进而可用x表示出bh、hc的长，即可在rt△bhc中，由勾股定理求得ad的长．
解答：（1）解：连接ob和oc；
oe⊥bc，∴be=ce；
oe= bc，∴∠boc=90°，∴bac=45°；（2分）
2）证明：∵ad⊥bc，∴∠adb=∠adc=90°；
由折叠可知，ag=af=ad，∠agh=∠afh=90°，bag=∠bad，∠caf=∠cad，（3分）
∠bag+∠caf=∠bad+∠cad=∠bac=45°；
∠gaf=∠bag+∠caf+∠bac=90°；
四边形afhg是正方形；（5分）
3）解：由（2）得，∠bhc=90°，gh=hf=ad，gb=bd=6，cf=cd=4；
设ad的长为x，则bh=gh-gb=x-6，ch=hf-cf=x-4．；（7分）
在rt△bch中，bh2+ch2=bc2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；
解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；
ad=12． （8分）
点评：此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
解答：解：（1）∵直线l与半径oc垂直，hb= ab= =8． （2分）
cos∠obh= =ob= hb= ×8=10；（2分）
2）在rt△obh中，oh= =6． （2分）
ch=10-6=4．
所以将直线l向下平移到与⊙o相切的位置时，平移的距离是4cm．（2分）
点评：此题综合考查了垂径定理、切线的性质及解直角三角形的应用．
5.（2010丽水）如图，直线l与⊙o相交于a，b两点，且与半径oc垂直，垂足为h，已知ab=16cm， ．
1）求⊙o的半径；
2）如果要将直线l向下平移到与⊙o相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．
考点：垂径定理；切线的性质；解直角三角形．
分析：（1）rt△ohb中，由垂径定理易得bh的长，可利用∠obh的余弦函数求出半径ob的长；
2）由切线的性质知，若直线l与⊙o相切，那么直线l必过c点，故所求的平移距离应该是线段ch的长．
rt△ohb中，根据勾股定理，可求出oh的长．ch=oc-oh．
解答：解：（1）∵直线l与半径oc垂直，hb= ab= =8． （2分）
cos∠obh= =ob= hb= ×8=10；（2分）
2）在rt△obh中，oh= =6． （2分）
ch=10-6=4．
所以将直线l向下平移到与⊙o相切的位置时，平移的距离是4cm．（2分）
点评：此题综合考查了垂径定理、切线的性质及解直角三角形的应用．
6.（2010河池）如图所示，ab为⊙o的直径，cd为弦，且cd⊥ab，垂足为h．
1）如果⊙o的半径为4， ，求∠bac的度数；
2）若点e为的中点，连接oe，ce．求证：ce平分∠ocd；
3）在（1）的条件下，圆周上到直线ac距离为3的点有多少个？并说明理由．
考点：垂径定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；平行线分线段成比例．
专题：几何综合题．
分析：（1）先求出ch的长，利用三角形的角边关系求出角boc，然后就可求出∠coh．
2）利用等腰三角形的性质得出∠e=∠oce，再利用平行线的判定得出oe∥cd即可证明ce平分∠ocd；
3）点到直线的距离的定义得出．做垂直于ac的线段且距离为3，从该线段的另一段作ac的平行线，与圆的交点，即是圆周上到直线ac距离为3的点，这样的点有2个．
解答：解：（1）∵ab为⊙o的直径，cd⊥ab
ch= cd=2 （1分）
在rt△coh中，sin∠coh= =
∠coh=60° （2分）
oa=oc∠bac= ∠coh=30°；（3分）
2）∵点e是的中点。
oe⊥ab （4分）
oe∥cd∠ecd=∠oec （5分）
又∵∠oec=∠oce
∠oce=∠dce （6分）
ce平分∠ocd；（6分）
3）圆周上到直线ac的距离为3的点有2个． （8分）
因为圆弧上的点到直线ac的最大距离为2， 上的点到直线ac的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴。
对称性， 到直线ac距离为3的点有2个． （10分）
点评：本题综合考查了圆心角，弧弦的关系，学生在做这一部分题时，一定要把圆的有关知识综合使用．
7.（2009荆门）如图，半径为2 的⊙o内有互相垂直的两条弦ab、cd相交于p点．
1）求证：papb=pcpd；
2）设bc的中点为f，连接fp并延长交ad于e，求证：ef⊥ad；
3）若ab=8，cd=6，求op的长．
考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：综合题．
分析：（1）求证papb=pcpd可以转化为证明rt△apd∽rt△cpb；
2）求证ef⊥ad，可以转化为证明∠dpe+∠d=90°，从而转化为证明∠a=∠dpe；
3）作om⊥ab于m，on⊥cd于n，op是矩形monp的对角线，根据勾股定理就可以求出op的长．
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