九年级数学培优第二讲：换元法与配方法的妙用。
一、内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式。
a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式。
常用的有以下三种：
由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
1 用完全平方式来因式分解。
例如：把x4+4 因式分解。
原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……
这是由a2+b2配上2ab.
2 二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式。
例如：化简。
我们把5－2写成 2－2＋3＝－2＋＝（2.
这是由2 ab配上a2+b2.
3 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值。即∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值。
例如：求代数式a2+2a－2 的最值。
a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3
当a=－1时， a2+2a－2有最小值－3.
这是由a2±2ab配上b2
4 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方。
例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0.
要使等式成立，必须且只需。 解得
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧。
二、例题 例1、解放程：（1）；（2）
例2、因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.
解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2) （折项，分组）
（ab+1）2－(a－b)2 （配方）
（ab+1+a-b）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想。
例3、 化简下列二次根式：
解：化简的关键是把被开方数配方。
例4、求下列代数式的最大或最小值：
① x2+5x+12x2－6x+1 .
解：①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1＝（x+）2－.
（x+）2≥0，其中0是最小值。
即当x=时，x2+5x+1有最小值－.
－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-）=2(x2+2×x+－)
－2（x+）2+
－2（x+）2≤0，其中0是最大值，∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值。
例5、解下列方程：
x4－x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.
解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0 . 折项，分组）
(x2－1)2+(x+y)2=0. （配方）
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.
得 ∴或。x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0 . 折项，分组)
x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.
x+y+3)2+(y－1)2＝0. （配方）
例6、已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式。
解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2
a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd (分组，添项)
(ac+bd)2+(ad-bc)2
例7、求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解。
解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)
x－4）2+(y+5)2＝25 （配方）
25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.
由得。同理，共有12个解……
三、练习。1、因式分解：
x4+x2y2+y4x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2-2ax-a2+1.
2、化简下列二次根式：
（－x<）；
3、解方程：
1）；（2）已知：，求的值。
4、求下列代数式的最大或最小值：
2x2+10x+1x2+x-1.
5、求证：不论m取何实数，的值恒为负。
6、设a、b为实数，求的最小值，并求此时a、b的值。
7、已知：，求的值。
8、已知：a2+b2－4a－2b+5 =0. 求：的值。
9、已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式值的正负。
10、已知：x= .求：.
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