初中数学九年级。
1、圆 1、 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
1）区分点在圆内，圆外和圆上的判定方法：点到圆心的距离与半径的比较。
2、圆是轴对称（对称轴是任意一条过圆心的直线）和中心对称（对称中心是圆心）
1）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（区分优弧和劣弧）
2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3）直径：经过圆心的弦叫直径（直径是弦，但弦不一定是直径）
3、（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
（2）两条平行的弦所夹的弧相等。
（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等，（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组向量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆心角和圆周角的关系：圆心角=2倍圆周角（同一条弧）
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
5、圆的确定：不在同一直线的三点确定一个圆。
★ 圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
圆内接四边形的特征： ①圆内接四边形的对角互补；
圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。
1）证明四点共圆的方法。
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
思路三：运用有关定理或结论。
1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
2）对于凸四边形abcd，对角互补四点共圆。
3）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形abcd其对角线ac、bd交于p，四点共圆。
4）割线定理：对于凸四边形abcd其边的延长线ab、cd交于p，四点共圆。
图（3图（4图（5
6、三角形的外接圆——三角形任意两条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，叫外心。
★ 锐角、直角和钝角三角形的外接圆的圆心的位置要区分。
注意：（1）直角三角形的外心即为斜边中心，因此直角三角形外接圆的直径即为斜边边长。
2）直角三角形的外接圆是以斜边中心为圆心的，斜边长的一半为半径的圆。
2、直线与圆的位置关系——相离、相交、相切。
1、判定方法：圆心到直线的距离与半径的比较或者直线与圆的交点个数。
1）圆的切线垂直于过切点的直径。
2）经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是切线。
圆的切线垂直于过切点的半径。
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。
①垂直于切线； ②过切点； ③过圆心。
3）拓展知识：
① 弦切角定理：弦切角等于他所夹的弧所对的圆周角。
② 圆内相交弦定理： 如右图。
③ 切线长定理：圆外任意一点向一个圆做两条切线，这一点到两个切点的距离相等。
④ 切割线定理：圆外任意一点向一个圆做一条切线一条割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
⑤ 割线定理：圆外任意一点向圆做两条割线，这点到其中一条割线与圆的交点的线段长与点到另外一条割线与圆的交点的线段长成比例。
2、三角形的内切圆——三角形任意两个角的角平分线的交点是三角形内切圆的圆心。
与圆有关的辅助线。
3、（1）.如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线。
2）.如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角。
3）.如一个圆有切线的条件，常作过切点的半径(或直径)为辅助线。
4）.若条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线。
3、圆与圆的位置关系——相离、相交、内含、相切（外切和内切）
判断两圆的位置关系：圆心距与两圆半径的关系。
1．两圆连心线的性质。
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙o1与⊙o2交于a、b两点，则连心线o1o2⊥ab且ac=bc。
2．两圆的公切线。
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12，ab分别切⊙o1与⊙o2于a、b，连结o1a，o2b，过o2作o2c⊥o1a于c，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为r，r则外公切线长：
如图13，ab分别切⊙o1与⊙o2于a、b，o2c∥ab，o2c⊥o1c于c，⊙o1半径为r，⊙o2半径为r，则内公切线长：
4、弧长和扇形面积。
弧长。扇形面积=
★ 弓形的面积公式。
1)当弓形所含的弧是劣弧时，
2)当弓形所含的弧是优弧时，
3)当弓形所含的弧是半圆时，
五、圆锥的侧面积
巩固与练习。
一、选择题。
1．p为⊙o内与o不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
a．点p到⊙o上任一点的距离都小于⊙o的半径。
b．⊙o上有两点到点p的距离等于⊙o的半径。
c．⊙o上有两点到点p的距离最小。
d．⊙o上有两点到点p的距离最大。
2．两个圆心为o的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜oa＜r2，那么点a在（ ）
a．甲圆内 b．乙圆外 c．甲圆外，乙圆内 d．甲圆内，乙圆外。
3．以已知点o为圆心作圆，可以作（ ）
a．1个b．2个c．3个d．无数个。
4．以已知点o为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
a．1个b．2个c．3个d．无数个5．如图，点c在以ab为直径的半圆上，∠bac=20°，∠boc等于（ ）
a．20° b．30° c．40° d．50°
6.圆内接四边形abcd，∠a，∠b，∠c的度数之比为3:4:6，则∠d的度数为。
a、60 b、80 c、100 d、120
7.四边形abcd内接于圆，则∠a:∠b:∠c:∠d可以是（ ）
（a）1:3:2:4 （b）7:5:10:8 （c）1:2:3:4 （d）13:1:5:17
8.下列命题中正确的是有（ ）个。
①圆内接平行四边形是矩形 ②圆内接菱形是正方形。
③圆内接梯形是等腰梯形 ④圆内接矩形是正方形。
（a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个。
9. 如图pb为⊙o的切线，b为切点，连结po交⊙o于点a，pa＝2，po＝5，则pb的长度为（ ）
a. 4 b. c. 2 d. 4
二、判断：、同弧所对的弦相等。
、平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧。（
、经过弦的中点的直径一定垂直于弦。
、圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。
、弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。
三、填空题。
1．在rt△abc中，∠c=90°，ab=15cm，bc=10cm，以a为圆心，12cm为半径作圆，则点c与⊙a的位置关系是 ．
2. ⊙o1、⊙o2连心线与一条内公切线夹角为45°，⊙o1与⊙o2直径分别为8cm， 10cm，则内公切线长。
3. ⊙o1与⊙o2外切于点p，它们半径之比为3∶2，ab为外公切线，a、b为切点，ab=，则⊙o1与⊙o2的圆心距为。
四、应用题。
1. 如图，已知正三角形abc的边长为2a．
（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
2. 如图所示，ab是⊙o的直径，bc切⊙o于b，ac交⊙o于p，e是bc边上的中点，连结pe，pe与⊙o相切吗？若相切，**以证明，若不相切，请说明理由．
3.已知：△abc内接于⊙o，边ab过圆心o，oe是bc的垂直平分线，交⊙o于e、d两点，求证，4．（8分）如图，已知扇形aob的半径为12，oa⊥ob，c为ob上一点，以oa为直线的半圆o与以bc为直径的半圆o相切于点d．求图中阴影部分面积．
10.⊙o1和⊙o2外切于点a，直线bd切 ⊙o1于点b，交⊙o2于点 c、d，直线 da交⊙o1于点 e．
求证：（1）∠bac=∠abc+∠d （2）ab2=ac·ae．
九年级数学圆
一 选择题 共10小题 1 2013遵义 如图，将边长为1cm的等边三角形abc沿直线l向右翻动 不滑动 点b从开始到结束，所经过路径的长度为 2 2013太原 如图，四边形abcd是菱形，a 60 ab 2，扇形bef的半径为2，圆心角为60 则图中阴影部分的面积是 1题2题3题 3 2013河池...
九年级数学圆
一 填空题 共10小题 1 2013凉山州 如图，rt abc中，c 90 ac 8，bc 6，两等圆 a，b外切，那么图中两个扇形 即阴影部分 的面积之和为。2 2013宿迁 如图，ab是半圆o的直径，且ab 8，点c为半圆上的一点 将此半圆沿bc所在的直线折叠，若圆弧bc恰好过圆心o，则图中阴影...
九年级数学圆
九年级数学圆的基本概念和性质教学设计。平面上到定点o的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点o叫做圆心，线段oa叫做圆的半径。以o为圆心的圆，记做 o，读作 圆o。几个概念 1 弦和直径 利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段 指出 连结圆上任意两点的线段叫做弦 如线段cd，ab，...