第20讲：圆。
圆是中考的必考内容，也是创新意识培养的好素材。题型多样，有选择、填空，解答题，分值一般在10-20分左右。 由于圆是初中几何内容的总结与综合，所以这一讲内容多，综合性强，因此这里我们分为三个部分复习。
第一部分圆的有关性质。
主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算。
典例精析】例1：如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）
a．5米 b．8米 c．7米 d．5米
思路点拨：本题考查垂径定理及勾股定理的有关知识，设该弧所在圆的圆心为o，则点d一定在半径oc上，∵cd⊥ab，由垂径定理得ad=ab=12，在rt△ado中，oa=13，∴od=5，∴cd=13－5=8．
答案：b例2：如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，a、b、o是小正方形顶点，⊙o的半径为1，p是⊙o上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠apb等于（ ）
a．30° b．45° c．60° d．90°
答案：b跟踪练习】
1.如图，∠aob是⊙o的圆心角，∠aob=80°，则弧所对圆周角∠acb的度数是( )
a．40b．45c．50d．80°
2.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为只需写出～的角度）．
3.（2009·山西省太原市）如图，ab是半圆o的直径，点p从点o出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）
答案： 1. a 2.50°. 3. c
诊断自测题。
一。选择题。
1.如图，是⊙o的直径，，则的度数是（ ）
abcd．
2.已知：如图，四边形abcd是⊙o的内接正方形，点p是劣弧上不同于点c的任意一点，则∠bpc的度数是（ ）
a．45b．60c．75d．90°
3.如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
a． b． c． d．
4.如图，已知cd是⊙o的直径，过点d的弦de平行于半径oa，若∠d的度数是50o，则∠c的度数是（ ）
a.50° b.40° c.30° d.25°
5.如图，c是以ab为直径的⊙o上一点，已知ab=5，bc=3，则圆心o到弦bc的距离是( )
a、1.5b、2c、2.5 d、3
6. （2009·娄底）如图，ab是⊙o的弦，od⊥ab于d交⊙o于e，则下列说法错误的是。
a．ad＝bd b．∠acb＝∠aoe c． d．od＝de
7.（2009·恩施市）如图，⊙o的直径ab垂直弦cd于p，且p是半径ob的中点，cd＝6cm，则直径ab的长是（ ）
a． b． c． d．
7题图8题图9题图。
8．（2024年甘肃**）如图，⊙o的弦ab＝6，m是ab上任意一点，且om最小值为4，则⊙o的半径为（ ）
a．5 b．4 c．3 d．2
9．（2024年广西南宁）如图，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab于点e，∠cdb＝30°,⊙o的半径为，则弦cd的长为（ ）
a． b． c． d．
10.（2024年天津市）如图，△abc内接于⊙o，若∠oab＝28°，则∠c的大小为（ ）
a．28° b．56° c．60° d．62°
二。填空题。
11．在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为 cm． 10题图。
12.若o为的外心，且，则。
13.如图，为的直径，点在上，，则 ．
14．如图，分别是的直径和弦，于点，连结、，，则。
15.如图，已知ab是⊙o的直径，bc为弦，∠a bc=30°过圆心o作od⊥bc交弧bc于点d，连接dc，则∠dcb
16.如图， ab是⊙o的直径，点c在⊙o上，∠bac=30°，点p**段ob上运动。设∠acp=x，则x的取值范围是。
16题图17题图18题图。
17．（2024年新疆乌鲁木齐市）如图，点c、d在以ab为直径的⊙o上，且cd平分，若ab＝2,∠cba＝15°，则cd的长为。
18.（2024年江苏省）如图，，ab是⊙0的直径，弦cd∥ab．若∠abd＝65°，则∠adc＝__
三。解答下列各题。
19．(2024年南充)如图，半圆的直径，点c在半圆上，．
1）求弦的长；
2）若p为ab的中点，交于点e，求的长．
20.如图，ab是⊙o的直径，bc是弦，od⊥bc于e，交于d．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若bc=8，ed＝2，求⊙o的半径．
20题图。21.（2024年广西钦州）已知：如图，⊙o1与坐标轴交于a（1，0）、b（5，0）两点，点o1的纵坐标为．求⊙o1的半径．
22.如图，已知a、b、c、d是⊙o上的四个点，ab＝bc，bd交ac于点e，连接cd、ad．
1）求证：db平分∠adc；
2）若be＝3，ed＝6，求ab的长．
第二部分：与圆有关的位置关系。
主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容，重点是切线的判定和性质，对于这部分内容要熟练掌握，灵活运用，并且要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
典例精析】例1：如图，在直角梯形中，，，且，是⊙o的直径，则直线与⊙o的位置关系为（ ）
a．相离b．相切c．相交d．无法确定。
思路点拨：本题难度较大，要判断直线与圆的位置关系，需将其转化为圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系。
解：图中圆心o到直线的距离即为梯形中位线的长，即d=，而，于是d＜，即d＜r，故直线与⊙o相交。所以选c.
例2：如图，直线ab、cd相交于点o，∠aod=30°，半径为1cm的⊙p的圆心在射线oa上，且与点o的距离为6cm．如果⊙p以1cm/s的速度沿由a向b的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙p与直线cd相切．
．484或64或8
思路点拨：本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙p与直线cd相切，则需要计算出当p与直线cd相切时，圆心p移动的距离，如图，在移动的过程中，p与直线cd相切有两种情况，如图，当圆心运动到p1、p2的位置时与直线cd相切，只要求到pp1，pp2长度即可。
解：当圆心移动到p1、p2的位置时，设p1与直线cd切于e点，则p1e=1，因为∠pod=30°，所以op1=2，所以pp1=6-2=4，同样可求pp2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后⊙p与直线cd相切。故选d.
例3：已知ab是⊙o的直径，bc是⊙o的切线，切点为b，oc平行于弦ad．
求证：dc是⊙o的切线．
思路点拨：本题要证明dc是⊙o的切线．这里已知d点在圆上，所以必须连接od，设法证明od⊥cd即可，注意已知条件bc是⊙o的切线，可知∠cbd=90°，因此设法证明△obc≌△odc即可。
跟踪练习】1.以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
a．与轴相离、与轴相切 b．与轴、轴都相离。
c．与轴相切、与轴相离 d．与轴、轴都相切。
平分∠boc，p是oa上任一点（o除外），若以p为圆心的⊙p与oc相离，那么⊙p与ob的位置关系是（ ）
a．相离 b．相切 c．相交 d．相交或相切。
3.（2024年四川泸州）已知⊙o1与⊙o2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为。
a．外离 b．外切 c．相交 d．内切。
4.（2024年山西省）如图，ab是⊙o的直径，ad是⊙o的切线，点c在⊙o上，bc∥od,ab＝2,od＝3,则bc的长为（ ）
a． b． cd．
4.（2009绵阳）一个钢管放在v形架内，右图是其截面图，o为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠mpn＝60，则op＝(
a．50 cm b．25cm c．cm d．50cm
答案：1. a. 2 . a
诊断自测题。
一。选择题。
1.正方形abcd中，点p是对角线ac上的任意一点（不包括端点），以p为圆心的圆与ab相切，则ad与⊙p的位置关系是 （
a．相离 b.相切 c.相交 d.不确定。
2.已知⊙o1的半径为3cm，⊙o2的半径r为4cm，两圆的圆心距o1o2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）
a．相交 b.内含c.内切d.外切。
3.如图，分别是⊙o的切线，为切点，是⊙o的直径，已知，的度数为（ ）
a． b． c． d．
第4题图 4.如图，p为⊙o外一点，pa切⊙o于点a，且op=5，pa=4，则sin∠apo等于（ ）
abcd、5.如图，圆与圆之间不同的位置关系有（ ）
a．2种b．3种c．4种d．5种。
6.如图，已知线段ab＝8cm，⊙p与⊙q的半径均为1cm．点p、q分别从a、b出发，**段ab上按箭头所示方向运动．当p、q两点未相遇前，⊙p与⊙q不可能出现的位置关系是（ ）
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