例题求解】例1】 如图，⊙ol与半径为4的⊙o2内切于点a，⊙ol经过圆心o2，作⊙o2的直径bc交⊙ol于点d，ef为过点a的公切线，若o2d=，那么∠baf= 度．
(重庆市中考题)
思路点拨直径、公切线、o2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连o2ol必过a点，先求出∠d o2a的度数．
注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．
2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．
例2】 如图，⊙ol与⊙o2外切于点a，两圆的一条外公切线与⊙o1相切于点b，若ab与两圆的另一条外公切线平行，则⊙ol 与⊙o2的半径之比为( )
a．2：5 b．1：2 c．1：3 d．2：3
全国初中数学联赛试题)
思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠colo2 (或∠do2ol)的度数，为此需寻求∠co1b、∠co1a、∠bo1a的关系．
例3】 如图，已知⊙ol与⊙o2相交于a、b两点，p是⊙ol上一点，pb的延长线交⊙o2于点c，pa交⊙o2于点d，cd的延长线交⊙ol于点n．
(1)过点a作ae∥cn交⊙oll于点e，求证：pa=pe；
(2)连结pn，若pb=4，bc=2，求pn的长．
(重庆市中考题)
思路点拨 (1)连ab，充分运用与圆相关的角，证明∠pae=∠pea；(2)pb·pc=pd·pa，探寻pn、pd、pa对应三角形的联系．
例4】 如图，两个同心圆的圆心是o，ab是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点d，连结od并延长交大圆于点e，连结be交ac于点f，已知ac=，大、小两圆半径差为2．
(1)求大圆半径长；
(2)求线段bf的长；
(3)求证：ec与过b、f、c三点的圆相切．
(宜宾市中考题)
思路点拨 (1)设大圆半径为r，则小圆半径为r-2，建立r的方程；(2)证明△ebc∽△ecf；(3)过b、f、c三点的圆的圆心o′，必在bf上，连oˊc，证明∠o′ce=90°．
注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．
例5】 如图，aob是半径为1的单位圆的四分之一，半圆o1的圆心o1在oa上，并与弧ab内切于点a，半圆o2的圆心o2在ob上，并与弧ab内切于点b，半圆o1与半圆o2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为．
(1)试建立以为自变量的函数的解析式；
(2)求函数的最小值．
(太原市竞赛题)
思路点拨设两圆半径分别为r、r，对于(1)，，通过变形把r2+r2用“=r+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因=r+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出r+r的取值范围．
注：如图，半径分别为r、r的⊙ol 、⊙o2外切于c，ab，cm分别为两圆的公切线，olo2与ab交于p点，则：
(1)ab=2；
(2) ∠acb=∠ol m o2=90°；
3)pc2=pa·pb；
(4)sinp=；
(5)设c到ab的距离为d，则．
学力训练。1．已知：⊙ol和⊙o2交于a、b两点，且⊙ol经过点o2，若∠aolb=90°，则∠a o2b的度数是。
2．矩形abcd中，ab=5，bc=12，如果分别以a、c为圆心的两圆相切，点d在圆c内，点b在圆c外，那么圆a的半径r的取值范围。
2023年上海市中考题)
3．如图；⊙ol 、⊙o2相交于点a、b，现给出4个命题：
(1)若ac是⊙o2的切线且交⊙ol于点c，ad是⊙ol的切线且交⊙o2于点d，则ab2=bc·bd；
(2)连结ab、olo2，若ola=15cm，o2a=20cm，ab=24cm，则olo2=25cm；
(3)若ca是⊙ol的直径，da是⊙o2 的一条非直径的弦，且点d、b不重合，则c、b、d三点不在同一条直线上，4)若过点a作⊙ol的切线交⊙o2于点d，直线db交⊙ol于点c，直线ca 交⊙o2于点e，连结de，则de2=db·dc，则正确命题的序号是写出所有正确命题的序号) ．
(厦门市中考题)
4．如图，半圆o的直径ab=4，与半圆o内切的动圆ol与ab切于点m，设⊙ol的半径为，am的长为，则与的函数关系是 ，自变量的取值范围是 ．
(昆明市中考题)
5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )
a．2 b． c． d．
6．如图，已知⊙ol、⊙o2相交于a、b两点，且点ol在⊙o2上，过a作⊙oll的切线ac交b ol的延长线于点p，交⊙o2于点c，bp交⊙ol于点d，若pd=1，pa=，则ac的长为( )
a． b． c． d．
武汉市中考题)
7．如图，⊙ol和⊙o2外切于a，pa是内公切线，bc是外公切线，b、c是切点①pb=ab；②∠pba=∠pab；③△pab∽△olab；④pb·pc=ola·o2a．
上述结论，正确结论的个数是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
(郴州市中考题)
8．两圆的半径分别是和r (r>r)，圆心距为d，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )
a．一定内切 b．一定外切 c．相交 d．内切或外切。
连云港市中考题)
9．如图，⊙ol和⊙o2内切于点p，过点p的直线交⊙ol于点d，交⊙o2于点e，da与⊙o2相切，切点为c．
1）求证：pc平分∠apd；
(2)求证：pd·pa=pc2+ac·dc；
(3)若pe=3，pa=6，求pc的长．
10．如图，已知⊙ol和⊙o2外切于a，bc是⊙ol和⊙o2的公切线，切点为b、c，连结ba并延长交⊙ol于d，过d点作cb的平行线交⊙o2于e、f，求证：(1)cd是⊙ol的直径；(2)试判断线段bc、be、bf的大小关系，并证明你的结论．
(四川省中考题)
11．如图，已知a是⊙ol、⊙o2的一个交点，点m是 olo2的中点，过点a的直线bc垂直于ma，分别交⊙ol、⊙o2于b、c．
(1)求证：ab=ac；
(2)若ol a切⊙o2于点a，弦ab、ac的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=o1o2；
(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设⊙ol、⊙o2的半径分别为r、r，求证：r2+r2= r2r2．
山西省中考题)
12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点p，则点p到两圆外公切线的距离为 ．
全国初中数学联赛试题)
13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 ．
全国初中数学联赛试题)
14．如图，⊙ol和⊙o2内切于点p，⊙o2的弦ab经过⊙ol的圆心ol，交⊙ol于c、d，若ac：cd：db=3：4：2，则⊙ol与⊙o2的直径之比为( )
a．2：7 b．2：5 c．2：3 d． 1：3
15．如图，⊙ol与⊙o2相交，p是⊙ol上的一点，过p点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )
a．1，2 b．1，3 c．1，2，3 d．1，2，3，4
(安徽省中考题)
16．如图，相等两圆交于a、b两点，过b任作一直线交两圆于m、n，过m、n各引所在圆的切线相交于c，则四边形amcn有下面关系成立( )
a．有内切圆无外接圆 b有外接圆无内切圆。
c．既有内切圆，也有外接圆 d．以上情况都不对
(太原市竞赛题)
17．已知：如图，⊙o与相交于a，b两点，点p在⊙o上，⊙o的弦ac切⊙p于点a，cp及其延长线交⊙p p于点d，e，过点e作ef⊥ce交cb的延长线于f．
九年级数学同步培优竞赛详附答案25第二十五讲辅助圆
例题求解 例1 如图，直线ab和ac与 o分别相切于b c，p为圆上一点，p到ab ac的距离分别为4cm 6cm，那么p到bc的距离为。全国初中数学联赛题 思路点拨连df，ef，寻找pd pe pf之间的关系，证明 pdf pfe，而发现p d b f与p e c f分别共圆，突破角是解题的关键 ...
九年级数学竞赛试题附答案
姓名班级 时间 120分钟满分 120分 一 选择题 每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分 1 设a b c 则a，b，c之间的大小关系是 a a2 已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2 c2 a2 b2 x b2 0，则方程根的情况是 a 有两相等实根 b 有两相异实根 c ...
九年级数学竞赛试题附答案
2011年中洲初中九年级数学竞赛试卷。数学。时间 120分钟满分 120分 一 选择题 每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分 1 设a b c 则a，b，c之间的大小关系是 a a2 已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2 c2 a2 b2 x b2 0，则方程根的情况是 a 有...