1.如图，△abc是等边三角形，ce是外角平分线，点d在ac上，连结bd并延长与ce交于点e．
1)求证：△abd∽△ced;
2)若ab＝6，ad＝2cd，求be的长．
1． (1)证明：∵ abc是等边三角形， ∠bac＝∠acb＝60°．∠acf＝120°．
ce是外角平分线， ∴ace＝60°．
∠bac＝∠ace1分
又∵ ∠adb＝∠cde2分。
△abd∽△ced3分。
2）解：作bm⊥ac于点m，ac＝ab＝6．
am＝cm＝3，bm＝ab·sin60°＝．
ad＝2cd，∴ cd＝2，ad＝4，md＝1
在rt△bdm中，bd4分
由（1）△abd∽△ced得， ed＝，∴be＝bd＋ed5分。
2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点b的坐标为（2，0），点c的坐标为（0，8），sin∠cab=, e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作ef∥ac交bc于点f，连结ce.
1）求ac和oa的长；
2）设ae的长为m，△cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式；
3）在（2）的条件下试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时△bce的形状；若不存在，请说明理由．
2．解：（1） ∵点b的坐标为（2，0），点c的坐标为（0，8），ob＝2， oc＝8.
在rt△aoc中，sin∠cab==,ac＝101分。
2分。2） 依题意，ae＝m，则be＝8－m.
ef∥ac，∴△bef∽△bac.
＝. 即＝.
ef3分。过点f作fg⊥ab，垂足为g. 则sin∠feg＝sin∠cab＝.
∴fg＝＝8－m.
s＝s△bce－s△bfe＝＝－m2＋4m.……4分。
自变量m的取值范围是0＜m＜8.
3） s存在最大值．
s＝－m2＋4m＝，且－＜0，当m＝4时，s有最大值，s最大值＝85分。
m＝4，点e的坐标为（－2，06分。
△bce为等腰三角形7分。
3.已知，如图①，∠mon=60°，点a、b为射线om、on上的动点（点a、b不与点o重合），且ab=，在∠mon的内部、△aob的外部有一点p，且ap=bp，∠apb=120°.
1)求ap的长；
2)求证：点p在∠mon的平分线上；
3)如图②，点c，d，e，f分别是四边形aobp
的边ao，ob，bp，pa的中点，连接cd，de，ef，fc，op. ①当ab⊥op时，请直接写出四边形cdef的周长；②若四边形cdef的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．
(1) 过点p作pq⊥ab于点q
pa=pb，∠apb=120° ，ab=4，aq=ab=×4=2，∠apq=∠apb=×120°=60°……1分。
在rt△apq中， sin∠apq=
ap=＝4………2分。
2）证明：过点p分别作ps⊥om于点s， pt⊥on于点t………3分。
∠osp=∠otp=90°
在四边形ospt中，∠spt=360°-∠osp-∠sot-∠otp=360°-90°-60°-90°=120°，∠apb=∠spt=120°
∠aps=∠bpt4分。
又∵∠asp=∠btp=90°， ap=bp，△aps≌△bpt
∴ps=pt
点p在∠mon的平分线上5分。
3） ①8+46分。
4+4＜t≤8+47分。
4．在四边形abcd中，对角线ac，bd交于点o，点p是**段bc上任意一点（与点b不重合），∠bpe＝∠bca，pe交bo于点e，过点b作bf⊥pe，垂足为f，交ac于点g．
若abcd为正方形， 如图⑴，当点p与点c重合时．△bog是否可由△poe通过某种图形变换得到？证明你的结论；
结合图⑵求的值；
如图⑶，若abcd为菱形，记∠bca＝，请**并直接写出的值．（用含的式子表示）
解：△bog可由△poe绕点o顺时针旋转90°得到．
证明：如图⑴，∵四边形abcd是正方形，p与c重合，ob=op，∠boc=∠bog=90°．
pf⊥bg，∠pfb=90°，∠gbo=90°－∠bgo，epo=90°－∠bgo，∠gbo=∠epo，∴△bog≌△poe．
oe=og，又∵∠eog=90°，将线段oe绕点o顺时针旋转90°就得到og．
又∵ob=op，∠pob=90°，将线段op绕点o顺时针旋转90°就得到ob．
△bog可由△poe绕点o顺时针旋转90°得到．
解法一：如图⑵，作pm//ac交bg于m，交bo于n，∠pne=∠boc=90°，∠bpn=∠ocb，∠obc=∠ocb=45°，∴nbp=∠npb，nb=np．
∠mbn=90°－∠bmn， ∠npe=90°－∠bmn，∠mbn=∠npe，△bmn≌△pen，
bm=pe．
∠bpe=∠acb，∠bpn=∠acb，∠bpf=∠mpf．
pf⊥bm，∴∠bfp=∠mfp=90°．
又∵pf=pf， ∴bpf≌△mpf，
bf=mf ，即bf=bm，bf=pe， 即＝．
解法二：如图⑶，作cm//pf交bg于m，交bo于n，，
且∠bpe=∠bcm，∠bpe=∠acb，∠bcm=∠gcm，cm//pf，pf⊥bg，∴cm⊥bg，∠cmb=∠cmg=90°．
又∵cm=cm，∴△bcm≌△gcm，
bm=mg，即bm=bg，
又由⑴得，bg=cn．
＝tanα．
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