阅读与思考。
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．
运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：
例题与求解。
例1】如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ad＝，bc＝，e，f分别是ad，bc的中点，且af交be于p，ce交df于q，则pq的长为＿＿＿
上海市竞赛试题）
解题思路：建立含pq的比例式，为此，应首先判断pq与ad（或bc）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．
例2】如图，在△abc中，d，e是bc的三等分点，m是ac的中点，bm交ad，ae于g，h，则bg︰gh：hm等于（ ）
a．3︰2︰1b．4︰2︰1c．5︰4︰3d．5︰3︰2
“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：因题设条件没有平行线，故须过m作bc的平行线，构造基本图形．
例3】如图，□abcd中，p为对角线bd上一点，过点p作一直线分别交ba，bc的延长线于q，r，交cd，ad于s，t．
求证：pqpt＝prps．
吉林省中考试题）
解题思路：要证pqpt＝prps，需证＝，由于pq，pt，pr，ps在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．
例4】梯形abcd中，ad//bc，ab＝dc．
1）如图1，如果p，e，f分别是bc，ac，bd的中点，求证：ab＝pe＋pf；
2）如图2，如果p是bc上的任意一点（中点除外），pe∥ab，pf∥dc，那么ab＝pe＋pf这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
上海市闵行区中考试题）
解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明ab＝pe＋pf，即要证明＋＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．
例5】如图，已知ab∥cd，ad∥ce，f，g分别是ac和fd的中点，过g的直线依次交ab，ad，cd，ce于点m，n，p，q．
求证：mn＋pq＝2pn．
解题思路：考虑延长ba，ec构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．
浙江省竞赛试题）
例6】已知：△abc是任意三角形．
1）如图1，点m，p，n分别是边ab，bc，ca的中点，求证：∠mpn＝∠a；
2）如图2，点m，n分别在边ab，ac上，且＝，＝点p1，p2是。
边bc的三等分点，你认为∠mp1n＋∠mp2n＝∠a是否正确？请说明你的理由；
3）如图3，点m，n分别在边ab，ac上，且p1，p2，…，p2009是边bc的2010等分点，则∠mp1n＋∠mp2n＋…＋mp2009n＝＿＿
济南市中考试题）
解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．
能力训练。a级。
1．设k＝＝＝则k＝＿＿
镇江市中考试题）
2．如图，ad∥ef∥bc，ad＝15，bc＝21，2ae＝eb，则ef＝＿＿
3．如图，在△abc中，am与bn相交于d，bm＝3mc，ad＝dm，则bd︰dn＝＿＿
杭州市中考试题）
4．如图，abcd是正方形，e，f是ab，bc的中点，连结ec交db，交df于g，h，则eg︰gh︰hc＝＿＿
重庆市中考试题）
5．如图，在正△abc的边bc，ca上分别有点e，f，且满足be＝cf＝，ec＝fa＝（＞当bf平分ae时，则的值为（ ）
abcd．
6．如图，△abc中，ad是bc边上的中线，f是ad上的一点，且af︰fd＝1︰5，连结cf并延长交ab于e，则ae︰eb等于（ ）
a．1︰10b．1︰9c．1︰8d．1︰7
7．如图，pq∥ab，pq＝6，bp＝4，ab＝8，则pc等于（ ）
a．4b．8c．12d．16
8．如图，ef∥bc，fd∥ab，bd＝bc，则be︰ea等于（ ）
a．3︰5b．2︰5c．2︰3d．3︰2
9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．
已知，如图，矩形abcd中，ac，bd相交于点o，oe⊥bc于e，连结de交oc于点f，作fg⊥bc于g．求证：点g是线段bc的一个三等分点．
2）请你依照上面的画法，在原图上画出bc的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）
山西中考试题）
10．如图，已知在□abcd中，e为ab边的中点，af＝fd，fe与ac相交于g．
求证：ag＝ac．
11．如图，梯形abcd中，ad∥bc，ef经过梯形对角线的交点o，且ef∥ad．
1）求证：oe＝of；
2）求＋的值；
3）求证：＋＝
宿迁市中考试题）
12．如图，四边形abcd是梯形，点e是上底边ad上的一点，ce的延长线与bc的延长线交于点f，过点e作ba的平行线交cd的延长线于点m，mb与ad交于点n．
求证：∠afn＝∠dme．
全国初中数学联赛试题）
b级。1．如图，工地上竖立着两根电线杆ab，cd，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的a，c处，向两侧地面上的e，d和b，f点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳ad与bc的交点p离地面的高度为＿＿＿m．
全国初中数学联赛试题）
2．如图，□abcd的对角线交于o点，过o任作一直线与cd，bc的延长线分别交于f，e点．设bc＝，cd＝，cf＝，则ce＝＿＿
黑龙江省中考试题）
3．如图，d，f分别是△abc边ab，ac上的点，且ad︰db＝cf︰fa＝2︰3，连结df交bc边的延长线于点e，那么ef︰fd＝＿＿
“祖冲之杯”邀请赛试题）
4．如图，设af＝10，fb＝12，bd＝14，dc＝6，ce＝9，ea＝7，且kl∥df，lm∥fe，mn∥ed，则ef︰fd＝＿＿
江苏省竞赛试题）
5．如图，ab∥ef∥cd，已知ab＝20，cd＝80，那么ef的值是（ ）
a．10b．12c．16d．18
全国初中数学联赛试题）
6．如图，ce，cf分别平分∠acb，∠acd，ae∥cf，af∥ce，直线ef分别交ab，ac于点m，n．若bc＝，ac＝，ab＝，且＞＞，则em的长为（ ）
abcd．
山东省竞赛试题）
7．如图，在□abcd的边ad延长线上取一点f，bf分别交ac与cd于e，g．若ef＝32，gf＝24，则be等于（ ）
a．4b．8c．10d．12e．16
美国初中数学联赛试题）
8．如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝3cd，e是对角线ac的中点，直线be交ad于点f，则af︰fd的值是（ ）
a．2bcd．1
黄冈市竞赛试题）
9．如图，p是梯形abcd的中位线mn所在直线上的任意一点，直线ap，bp分别交直线cd于e，f．
求证：＝．宁波市竞赛试题）
10．如图，在四边形abcd中，ac与bd相交于o，直线平行于bd且与ab，dc，bc，ad及ac的延长线分别交于点m，n，r，s和p．
求证：pm·pn＝pr·ps．
山东省竞赛试题）
11．如图，ab⊥bc，cd⊥bc，b，d是垂足，ad和bc交于e，ef⊥bd于f．我们可以证明：＝成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为ab∥cd∥ef，那么，1）＝还成立吗？
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
2）请找出s△abd，s△bed和s△bdc的关系式，并给出证明．
黄冈市竞赛试题）
12．在rt△abc中，∠bac＝90°，ad平分∠bac，过d点的直线pq交边ac于点p，交边ab的延长线于点q．
1）如图1，当pq⊥ac时，求证：＝；
2）如图2，当pq不与ad垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；
3）如图3，若∠bac＝60°，其它条件不变，且＝，则＝＿＿直接写出结果）
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