第1讲与有理数有关的概念。
考点·方法·破译。
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量。
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想。
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数。
经典·考题·赏析。
例1】写出下列各语句的实际意义。
向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克。
解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克。
变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
a． －18% b． －8% c． ＋2% d． ＋8%
02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
a． －5吨 b． ＋5吨 c． －3吨 d． ＋3吨。
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是___
例２】在－，π这四个数中有理数的个数（ )
a． 1个 b． 2个 c． 3个 d． 4个。
解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数；按整数、分数分类，有理数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选c．
变式题组】01．在7，0．1 5，－，301.31.25，－，001中，负分数为 ，整数为 ，正整数。
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置。
例３】（宁夏）有一列数为－1找规律到第2007个数是 .
解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证。解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.
变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是。
02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填___
03．（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为___
例４】（2023年河北张家口）若l＋的相反数是－3，则m的相反数是___
解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数。几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题＝－4,m＝－8
【变式题组】
01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
a．5 b． c． －5 d． －
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝__
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形a、b、c 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体。若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形a、b、c内的三个数依次为( )
a． －1 ,2，0 b． 0，－2，1 c． －2，0，1 d． 2，1，0
例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( )
a． b＜－a＜a＜－b b． –a＜b＜a＜－b c． –b＜a＜－a＜b d． –a＜a＜－b＜b
解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离，即|a|,用式子表示为|a|＝.本题注意数形结合思想，画一条数轴。
标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选a．
变式题组】01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
a． 4个 b． 3个 c． 2个 d． 1个。
02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则。
03．a、b、c为不等于o的有理散，则＋＋的值可能是___
例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则的值。
解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝
变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋c．
02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
a． －4 b． －1 c． 0 d． 4
03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值。
例７】（第l8届迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．
解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征，从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径。
解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥o
(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m
m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
m＋n＝o ①
又∵|2m－n－2|＝0
2m－n－2＝0 ②
由①②得m＝，n＝－，mn＝－
变式题组】01．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－b．
02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,求y的最大值。
演练巩固·反馈提高。
01．观察下列有规律的数，根据其规律可知第9个数是( )
a． b． c． d．
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
a． 6 b． －6 c． d． －
03．在－,π8.四个数中，有理数的个数为( )
a． 1个 b． 2个 c． 3个 d． 4个。
04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
a． a－b b． b－a c． –a＋b d． –a－b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
a． 0和6 b． 0和－6 c． 3和－3 d． 0和3
06．若－a不是负数，则a( )
a． 是正数 b． 不是负数 c． 是负数 d． 不是正数。
07．下列结论中，正确的是( )
若a＝b,则|a|＝|b若a＝－b,则|a|＝|b|
若|a|＝|b|，则a＝－b若|a|＝|b|,则a＝b
a． ①b． ③c． ①d． ②
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b，－a，|b|的大小关系正确。
的是( )a． |b|＞a＞－a＞b b． |b| ＞b＞a＞－a
c． a＞|b|＞b＞－a d． a＞|b|＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是___
10．已知|x＋2|＋|y＋2|＝0，则xy＝__
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值。
13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－c．
14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由。
15．点a、b在数轴上分别表示实数a、b，a、b两点之间的距离表示为|ab|．当a、b两点中有一点在原点时，不妨设点a在原点，如图1，|ab|＝|ob|＝|b|＝|a－b|当a、b两点都不在原点时有以下三种情况：
如图2，点a、b都在原点的右边|ab|＝|ob|－|oa|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
如图3，点a、b都在原点的左边，|ab|＝|ob|－|oa|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；
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