方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。
二、例题精讲。
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,2=(5x+22)°,求∠3的度数。
解：∵ a∥b， ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
∠1＝∠2 (等式性质)
则 3x+70＝5x+22 解得x=24
即∠1＝142°
∠3＝180°-∠1＝38图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。
例2．已知：如图(2)， ab∥ef∥cd，eg平分∠bef，∠b+∠bed+∠d =192°，b-∠d=24°，求∠gef的度数。
解：∵ab∥ef∥cd
∴∠b=∠bef，∠def=∠d（两直线平行，内错角相等）
∵∠b+∠bed+∠d =192°（已知）
即∠b+∠bef+∠def+∠d=192°
2（∠b+∠d）=192°（等量代换）
则∠b+∠d=96°（等式性质）
∠b-∠d=24°（已知图(2)
∠b=60°（等式性质。
即∠bef=60°（等量代换）
eg平分∠bef（已知）
∠gef=∠bef=30°（角平分线定义）
例3．如图（3），已知ab∥cd，且∠b=40°，∠d=70°，求∠deb的度数。
解：过e作ef∥ab
ab∥cd（已知）
ef∥cd（平行公理）
∠bef=∠b=40° ∠def=∠d=70°（两直线平行，内错角相等）
∠deb=∠def-∠bef
∠deb =∠d-∠b=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线图（3）
例4．已知锐角三角形abc的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hc＜a+b+c
分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段。
证明：由垂线段最短知，ha＜c ，hb＜a，hc＜b
以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c
研究垂直关系应掌握好垂线的性质。
1． 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
2． 垂线段最短。
例5．如图（4），直线ab与cd相交于o，efab于f，ghcd于h，求证ef与gh必相交。
分析：欲证ef与gh相交，直接证很困难，可考虑用反证法。
证明：假设ef与gh不相交。
∵ ef、gh是两条不同的直线。
∴ ef∥gh
∵ efab
ghab又因ghcd 故ab∥cd (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4）
这与已知ab和cd相交矛盾。
所以ef与gh不平行，即ef与gh必相交。
评注：本题应用结论：
1) 垂直于同一条直线的两直线平行。
2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；
例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
则 n条直线共有交点个数：1+2+3+…+n-1)= n(n-1)
评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条。
评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+n-1)= n(n-1)
例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；
同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域。
推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)= n2+n+2)块不同的区域。
思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
例9．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于。
证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角。
平面上任取一点o，将这n条直线均平行移动过点o，成为交于一点o的n条直线，这n条直线将以o为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角n
由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。
若这2n个角均大于，则1+2+3+…+2n ＞2n×=360°,而 1+2+3+…+2n =360°,产生矛盾。
故n中至少有一个小于，即原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于。
评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。
例10．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。
b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
解：（a）在平面上任取一点a。
过a作两直线m1与n1。在n1 上取两点b，c，在m1上取两点d，g。过b作m2∥m1，过c作m3∥m1，过d作n2∥n1，过g作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得e、f、h、i四点，如图所示。
由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。
b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。
理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。
根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为＝10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。
所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。
三、巩固练习。
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条。
a．6 b． 7 c．8 d．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （
a．3 b．1或3 c．1或2或3 d．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）
a．36条 b．33条 c．24条 d．21条。
4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ）
（a）9 （b）10 （c）11 （d）12
5．若平行直线ab、cd与相交直线ef、gh相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）
a．4对 b．8对 c．12对 d．16对。
6．如图，已知fd∥be，则∠1+∠2-∠3
a．90° b．135° c．150° d．180°
第7题 7．如图，已知ab∥cd，∠1=∠2，则∠e与∠f的大小关系。
8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还。
有交点。9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。
10．如图，已知ab∥cd∥ef，psgh于p，∠frg=110°，则∠psq＝ 。
11．已知a、b是直线l外的两点，则线段ab的垂直平分线与直线的交点个数是 。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。
13．已知：如图，de∥cb ，求证：∠aed=∠a+∠b
14．已知：如图，ab∥cd，求证：∠b+∠d+∠f=∠e+∠g
第13题第14题。
15．如图，已知cbab，ce平分∠bcd，de平分∠cda，edc+∠ecd =90°，求证：daab
16．平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？
17．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？
18．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？
19．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。
20．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图形。
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