第4章相交线与平行线。
一、知识结构图。
余角。余角补角。
补角。角两线相交对顶角。
同位角。三线八角内错角。
同旁内角。平行线的判定。
平行线。平行线的性质。
尺规作图。二、基本知识提炼整理。
一）余角与补角。
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
1）则(同角的余角或补角相等)。
2）且则(等角的余角（或补角）相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二）对顶角。
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三）同位角、内错角、同旁内角。
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
四）六类角。
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
六）平行线的判定与性质。
经典例题】例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
例2. 如下图（1）所示，直线de、bc被直线ab所截，问，各是什么角？
图（1）例3 如下图（1），图（1）
（1）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（2）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（3与被第三条直线所截构成的角。
（4）与6是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
例4如图，已知∠amf=∠bng=75°，∠cma=55°，求∠mpn的大小。
例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，cp平分∠acm，求∠pcm
例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小。
例7如图，已知：∠bap与∠apd 互补，∠1=∠2，说明：∠e=∠f
例8 如图，已知ab∥cd，p为hd上任意一点，过p点的直线交hf于o点，试问：∠hop、∠agf、∠hpo有怎样的关系？用式子表示并证明。
例9 如图，已知ab∥cd，说明：∠b＋∠bed＋∠d=360°
例10. 小张从家（图中a处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中b处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中c处），试问∠abc为多少度？说明你的理由。
例11 如图，∠adc=∠abc， ∠1＋∠2=180°，ad为∠fdb的平分线，说明：bc为∠dbe的平分线。
例12 如图，de，be 分别为∠bdc， ∠dba的平分线，∠deb=∠1＋∠2
1）说明：ab∥cd
2）说明：∠deb=90°
中考真题精讲。
1．如图，ad⊥bc于d，eg⊥bc于g，∠e=∠1，可得ad平分∠bac．
理由如下：∵ad⊥bc于d，eg⊥bc于g，（
∠adc=∠egc=90ad∥eg
∠e =∠3
又∵∠e=∠1（ ）2 = 3
ad平分∠bac
2．已知，如图，∠1=∠acb，∠2=∠3，fh⊥ab于h．问cd与ab有什么关系？
3．已知：如图，ae⊥bc，fg⊥bc，∠1=∠2，求证：ab∥cd．
4．如图，已知be∥df，∠b=∠d，则ad与bc平行吗？试说明理由．
5．如图，已知∠hdc与∠abc互补，∠hfd=∠beg，∠h=20°，求∠g的度数．
6．推理填空：如图ab∥cd，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明ad∥be．
解：∵ab∥cd（ ）
∠4=∠1+ ∠caf
∠3=∠4（已知）
∠3=∠1+ ∠caf
∠1=∠2（已知）
∠1+∠caf=∠2+∠caf
即∠ 4 =∠dac
∠3=∠ dac
ad∥be7．如图，cd∥af，∠cde=∠baf，ab⊥bc，∠bcd=124°，∠def=80°．
1）观察直线ab与直线de的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；
2）试求∠afe的度数．
8．如图，∠1=∠2，∠2=∠g，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．
9．如图，点e、f、m、n分别**段ab、ac、bc上，∠1+∠2=180°，∠3=∠b，判断∠ceb与∠nfb是否相等？请说明理由．
10．如图所示，已知ab∥cd，bd平分∠abc交ac于o，ce平分∠dcg．若∠ace=90°，请判断bd与ac的位置关系，并说明理由．
11．如图，已知oa∥be，ob平分∠aoe，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么de和cd有怎样的位置关系？为什么？
12．已知：如图，ab∥cd，bd平分∠abc，ce平分∠dcf，∠ace=90°．
1）请问bd和ce是否平行？请你说明理由．
2）ac和bd的位置关系怎样？请说明判断的理由．
13．如图，已知∠1+∠2=180°，∠def=∠a，试判断∠acb与∠deb的大小关系，并对结论进行说明．
14．如图，dh交bf于点e，ch交bf于点g，∠1=∠2，∠3=∠4，∠b=∠5．
试判断ch和df的位置关系并说明理由．
15．如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠a+∠b+∠c+∠d=180°．
16．如图，已知：点a在射线bg上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠eab=∠bcd．
求证：ef∥cd．
17．如图，六边形abcdef中，∠a=∠d，∠b=∠e，cm平分∠bcd交af于m，fn平分∠afe交cd于n．试判断cm与fn的位置关系，并说明理由．
19．如图，在四边形abcd中，ab∥cd，点e、f分别在ad、bc边上，连接ac交ef于g，∠1=∠bac．
1）求证：ef∥cd；
2）若∠caf=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠b和∠acd的度数．
20．如图，ab∥ef，ab∥cd，∠1=∠b，∠2=∠d，那么be⊥de，为什么？
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