第4章相交线与平行线。
一、知识结构图。
余角。余角补角。
补角。角两线相交对顶角。
同位角。三线八角内错角。
同旁内角。平行线的判定。
平行线。平行线的性质。
尺规作图。二、基本知识提炼整理。
一）余角与补角。
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
1）则(同角的余角或补角相等)。
2）且则(等角的余角（或补角）相等)。
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
二）对顶角。
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三）同位角、内错角、同旁内角。
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。
四）六类角。
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
六）平行线的判定与性质。
经典例题】例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。
解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。
2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。
3）这种说法是正确的。
4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。
说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。
例2. 如下图（1）所示，直线de、bc被直线ab所截，问，各是什么角？
图（1）分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。
图（2）答案：是同位角，是内错角，是同旁内角。
例3 如下图（1），图（1）
（1）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（2）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（3与被第三条直线所截构成的角。
（4）与6是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到是由直线被第三条直线所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。
图（2）答案：（1）1与2是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
（2）1与3是两条直线被第三条直线所截构成的同位角。
（3）是两条直线被第三条直线所截构成的内错角。
4）5与6是两条直线被第三条直线所截构成的同旁内角。
例4如图，已知∠amf=∠bng=75°，∠cma=55°，求∠mpn的大小。
答案：50°
解析：因为∠amf=∠bng=75°，又因为∠bng=∠mnp，所以∠amf=∠mnp，所以ef∥gh，所以∠mpn=∠cme，又因为∠amf=75°，∠cma=55°，所以∠amf+∠cma=130°，即∠cmf=130°，所以∠cme=180°－130°=50°，所以∠mpn=50°
例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，cp平分∠acm，求∠pcm
答案：57.5°
解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以ab∥de，所以∠bcn=∠4=115°，所以∠acm=115°，又因为cp平分∠acm，所以∠pcm=∠acm=×115°=57.5°，所以∠pcm=57.
5°例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小。
答案：102°
解析：因为∠2=∠cdb，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠cdb=180°，所以得到ab∥cd，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°
例7如图，已知：∠bap与∠apd 互补，∠1=∠2，说明：∠e=∠f
解析：因为∠bap与∠apd 互补，所以ab∥cd，所以∠bap=∠cpa，又因为∠1=∠2，所以∠bap－∠1=∠cpa－∠2，即∠eap=∠fpa，所以ea∥pf，所以∠e=∠f
例8 如图，已知ab∥cd，p为hd上任意一点，过p点的直线交hf于o点，试问：∠hop、∠agf、∠hpo有怎样的关系？用式子表示并证明。
答案：∠hop=∠agf－∠hpo
解析：过o作cd的平行线mn，因为ab∥cd，且cd∥mn，所以ab∥mn，所以∠agf=∠mof=∠hon，因为cd∥mn，∠hpo=∠pon，所以∠hop=∠hon－∠pon=∠hon－∠hpo，所以∠hop=∠agf－∠hpo
例9 如图，已知ab∥cd，说明：∠b＋∠bed＋∠d=360°
分析：因为已知ab∥cd，所以在∠bed的内部过点e作ab的平行线，将∠b＋∠bed＋∠d的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解：过点e作ef∥ab，则。
b＋∠bef=180°（两直线平行，同旁内角互补）
ab∥cd（已知）
ef∥ab（作图）
ef∥cd（平行于同一条直线的两直线平行）
∠d＋∠def=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠b＋∠bef＋∠d＋∠def=360°
∠b＋∠bed＋∠d=∠b＋∠bef＋∠d＋∠def
∠b＋∠bed＋∠d=360°
例10. 小张从家（图中a处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中b处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中c处），试问∠abc为多少度？说明你的理由。
解：∵ae∥bd（已知）
∠bae=∠dba（两直线平行， 内错角相等）
∠bae=40°（已知）
∠abd=40°（等量代换）
∠cbd=∠abc＋∠abd（已知）
∠abc=∠cbd－∠abd（等式性质）
∠abd=40°（已知）
∠abc=75°－40°=35°
例11 如图，∠adc=∠abc， ∠1＋∠2=180°，ad为∠fdb的平分线，说明：bc为∠dbe的平分线。
分析：从图形上看，ae应与cf平行，ad应与bc平行，不妨假设它们都平行，这时欲证bc为∠dbe的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠c=∠6 ，∠4=∠5，由ad为∠fdb的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证ae∥cf，且ad∥bc了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明ae∥cf，利用它的平行及∠adc=∠abc的条件，不难推证ad∥bc。
证明：∵∠1＋∠2=180°（已知）
2＋∠7=180°（补角定义）
∠1=∠7（同角的补角相等）
ae∥cf（同位角相等，两直线平行）
∠abc＋∠c=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠adc=∠abc（已知），cf∥ab（已证）
∠adc＋∠c=180°（等量代换）
ad∥bc（同旁内角互补，两直线平行）
∠6=∠c， ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）
又∠3=∠c（两直线平行，内错角相等）
∠3=∠6（等量代换）
又ad为∠bdf的平分线。
∠3=∠4（等量代换）
bc为∠dbe的平分线。
例12 如图，de，be 分别为∠bdc， ∠dba的平分线，∠deb=∠1＋∠2
1）说明：ab∥cd
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