第五章相交线与平行线。
第一节、知识梳理：
相交线与平行线。
一、学习目标。
1.理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算；
2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念；
3.掌握“三线八角”的内容。
二、学习重点与难点。
学习重点：1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念；
2.掌握两直线平行的三个判定方法。
学习难点： 1.对顶角的性质、垂线性质；
2.灵活运用平行线的判定方法来解题。
三、知识概要。
1.要正确理解邻补角、对顶角的含义：
（1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外两边是互为反向延长线；
（2）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角；
（3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角。
2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆：
（1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼；
（2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形。
（3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离。
3.两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：
（1）识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；
（2）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线平行。
四、知识链接。
1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸。
2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线。而由平行线又可得到下周的平行线性质。
五、中考视点。
平行与相交线中的垂直是经常考的内容。一般考其基础知识，以填空选择为主。
平行线的性质与平移。
一、学习目标。
1.掌握平行线的性质并会应用。
2.理解命题并会判断。
3.理解平移的定义并会应用平移的特征。
二、知识概要。
1.平行线的性质。
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
2.两条平行线的距离。
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
对于这个概念，应注意三点：
（1）两条直线必须是平行的；
（2）第三条直线同时垂直于它们；
（3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形。
3.关于命题。
判断一件事情的语句叫做命题。每个命题都是由条件和结论两部分组成的。
4.平移的概念。
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移。
5.平移的基本特征。
平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
三、重点难点。
学习重点：1.平行线的性质及其应用。
2.平移的特征。
学习难点：1.命题的判断。
2.平移变换及其性质应用。
四、知识链接。
平行线的性质与判定定理有互逆性，平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一。
五、中考视点。
平行线的知识是每年必考的内容，在填空选择中经常直接考平行线的性质。在解答题中经常与其他知识联系，综合考查。平移知识也是考的比较多的内容，尤其是在做辅助线时经常用到。
第二节、教材解读：理解“三线八角”
当两条直线ab和cd被第三条直线ef所截（如图），可得到八个角。根据位置特征不同，把∠1和∠5、∠2和∠6、∠4和∠8、∠3和∠7这样的称作同位角；把∠4和∠6、∠3和∠5这样的称作内错角；把∠4和∠5、∠3和∠6这样的称作同旁内角。在数学中也常把与同位角、内错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题。
1.所谓同位角也就是位置特征相同，如∠1和∠5同在“左上”（ab和cd左侧，ef上方）；∠2和∠6同在“左下”（ab和cd左侧，ef下方）；∠4和∠8同在“右上”（ab和cd右侧，ef上方）；∠3和∠7同在 “右下”（ab和cd右侧，ef下方）.
2.所谓内错角是指在两条被截直线之内，在第三条直线左右错开的位置的角，如∠4和∠6在ab和cd之内，而在ef左右两边错开的角；∠3和∠5在ab和cd之内，而在ef左右两边错开的角。
3.所谓同旁内角是指在第三条直线同旁，而在两条被截直线之内的位置的角，如∠4和∠5同在ef 上边而在ab和cd之内；∠3和∠6同在ef 下边而在ab和cd之内。
第三节、错解剖析。
例1】填空：从直线外一点到这条直线的___叫做点到直线的距离．
错解：垂线段．
【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量而不是图形．错误的原因是概念不清。
正解：垂线段的长度．
例2】判断正误：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．
错解：正确．
【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质，出现了扩大概念实质和概念外延的错误，把一些不是对顶角的角看成了对顶角，如下图中∠1和∠2有公共顶点且没有公共边，但它们不是对顶角．错误的原因是概念不清。
正解：如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角．
例3】如图，若ab∥cd，cd∥ef，则ab∥ef.理由是什么？
错解：等量代换．
【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈，相等说的是两个量的大小关系，平行说的则是两条直线的位置关系，完全不是一码事，所以，平行线的传递性是不能用"等量代换"来表达的．错误的原因是位置关系和数量关系混淆。
正解：平行于同一条直线的两条直线平行．
例4】判断正误：同一平面内不相交的两条线是平行线．
错解：正确。
【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系。不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交．错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系。
正解：同一平面内不相交的两条直线是平行线．
例5】判断正误：不相交的两条直线是平行线．
错解：正确．
【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线，但在空间里很容易找到不相交的两条直线，而且它们并不平行，错误的原因是思考不周。
正解：在同一平面内不相交的两条直线是平行线．
第四节、思维点拨。
例1】已知，如图，直线ab、cd相交于o，oe平分∠bod且∠aoe=150°，你能求出∠aoc的度数吗？
思考与分析】观察图形我们可知，∠aoe与∠boe是邻补角，所以∠boe的度数可求，又由oe是∠bod的角平分线可求得 ∠bod=2∠boe，而∠aoc与∠bod是对顶角，故∠aoc可求。
解：∵ ab是直线（已知），∴aoe与∠boe 是邻补角（邻补角定义）.
∴ ∠aoe+∠boe=180°（补角定义）.
又∠aoe=150°（已知），∴boe=180°-∠aoe=180°－150°=30°（等式性质）.
∵ oe平分∠bod（已知），∴bod=2∠boe（角平分线定义）.
即 ∠bod=2×30°＝60°.
∵ ∠aoc与∠bod是对顶角（由图可知），∴aoc＝∠bod（对顶角相等）.
∴ ∠aoc＝60°.
反思：在思考过程中抓住角平分线de与各个角的关系是解题的关键。
例2】 如图，直线ab、cd相交于点o，oe⊥ab于点o，of平分∠aoe，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）
a.∠2=45°
b.∠1=∠3
c.∠aod与∠1互为补角。
d.∠1的余角等于75°30′
思考与解： ∵oe⊥ab，∴∠aoe=90°.
∵of平分∠aoe，∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴b正确。
∵∠aod与∠1互为补角。∴c正确。
∵∠1=15°30′，∴1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴d不正确。故选d.
小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突。
例3】已知，如图，直线ab、cd互相垂直，垂足为o，直线ef过点o，∠dof＝32°，你能求出∠aoe的度数吗？
思考与分析】我们由ab⊥cd可知∠aoc＝90°，因此，∠aoe与∠eoc 互余。又因为∠eoc与∠dof是对顶角，于是∠eoc=32°，于是∠aoe可求。
解法一：∵直线cd与ef交于o（已知），∴eoc=∠dof （对顶角相等）.
∵ ∠dof＝32°（已知），∴eoc=32°（等量代换）.
∵ab、cd互相垂直（已知），∴aoc＝90°（垂直定义）.
∴ ∠aoe+∠eoc=90°.
∴ ∠aoe=90°-∠eoc=90°-32°=58°.
解法二：∵直线ab、cd互相垂直（已知），∴bod＝90°（垂直定义）.
∴ ∠bof+∠dof=90°.
∵ ∠dof＝32°（已知），∴bof=90°-∠dof=58°.
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