切线的判定与性质。
知识要点】1．直线与圆的三种位置关系。
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙o是什么关系？
2.切线的判定定理：
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
注意：定理中的两个条件缺少一个行不行？定理中的两个条件缺一不可．（如图）
3.切线的判定方法。
判定一条直线是圆的切线的三种方法：
1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个。
典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）
1）与直径垂直的直线是圆的切线；
2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
3）经过半径外端点的直线是圆的切线；
4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．
a、（1）（2）（3） b、（2）（3）（5） c、（2）（4）（5） d、（3）（4）（5）
例2．如图所示，pbc是⊙o的割线，a点是⊙o上一点，且．
求证：pa是⊙o的切线．
例3．如图所示，已知：梯形abcd中ab∥cd，∠a=，腰bc是⊙o的直径，且bc=cd+ab．求证：ad和⊙o相切。
例4．如图所示，已知：两个同心圆o中，大圆的弦ab、cd相等，且ab与小圆相切于点e．求证：cd是小圆o的切线．
例5．如图所示，ab是⊙o的直径，bc为弦，c为弧ad的中点，过c作bd的垂线交bd的延长线于e点．求证：ce与⊙o相切．
例6． 如图所示，在梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，ab=8，bc=5，若以ab为直径为⊙与dc相切于点e ，则dc
课堂练习】一．填空题：
1．以边长为的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为。
2．已知⊙o的直径为，点o到直线的距离是方程的根，则直线与⊙o的位置关系是 ．
3．两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦ab与小圆相切，则ab= cm.
4.如图1，ab是⊙o的直径，直线mn切半圆于c，am⊥mn，bn⊥mn，若am=，bn=，则ab
5．如图2，ab是⊙o的直径，延长ab到d，使bd=ob，dc切⊙o于c，则∠d= ，acd若半径为，ac= ．
6．经过圆的直径两端点的切线必互相 ．
7．如图3，ab为⊙o的直径，mn切⊙o于c，交ab的延长线于m，∠acn=，∠m= 。
8．如图4，p为⊙o外一点，pb切⊙o于b，连结po交⊙o于a，已知ob=5cm，则pb= ．
二．选择题：
1．如图5所示，pa切⊙o于a，pa=，po交⊙o于b，，则pb的长为（ ）
a、1cmb、2cmc、1.5cm d、
2．如图6所示，pa、pb分别切⊙o于a、b两点，∠p=，则∠c=（
abcd、3．已知直径为13cm的圆，圆心到直线的距离是6.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（ ）
a、0个b、1个c、2个d、不能确定。
4．如图7，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠a=，以cd为直径的圆切ab于e点，ad=3，bc=4，则cd的长为（ ）
a、7b、3.5c、 d、以上答案都不对。
三、解答题：
1．如图所示，已知：ab是⊙o的直径，cd切⊙o于c，ad⊥cd，垂足为d，ad、bc相交于e．求证：ab=ae．
2．如图所示，中，，以ac为直径作⊙o交ab于d，e为bc中点。求证：de是⊙o的切线．
三角形的内切圆。
知识要点】三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形．本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：三角形三个内角平分线的交点．这对于解相关问题起点睛的作用．
常用公式：已知三角形abc三边分别为a,b,c面积为s，则其内切圆半径r= ;
若该三角形为直角三角形，∠c=，则则其内切圆半径r= ;
若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r= 。
经典例题】例1．如图所示，o是的内心，且∠boc=．求∠a的度数．
例2．如图所示，中，内切圆m与边bc、ca、ab分别相切于点d、e、f．若∠fde=，求∠a的度数．
例3．如图所示，点i是的内心，ai的延长线交边bc于点d，交外接圆于点e．（1）求证：ie=be；（2）若ie=4，ae=8，求de的长．
例4．如图所示，，∠c=，ab=10，ac=8，bc=6，⊙o为的内切圆，与三边的切点分别为d、e、f．求⊙o的半径．
例5. 如图所示，∠c=，⊙o为的内切圆，与三边的切点分别为d、e、f．求证：
典型练习】一、填空题。
1．如图1，在中，∠abc=，∠acb=，点o是内心，则∠boc的度数为 ．
2．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．
3．等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则= ．
4．如图2，中，∠c=，⊙o是的内切圆，分别切bc、ac、ab于d、e、f，ab=8cm，od=2cm，则的周长为 cm．
5．外切于⊙o，e、f、g分别是⊙o与各边的切点，则的外心是的 。
6．圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为 ．
7．的内切圆⊙i与ab、bc、ca分别切于d、e、f点，且∠fid=∠eid=，则为三角形．
8．如图3所示，在中，∠abc=，∠acb=，点o为的内心，bo的延长线交ac于d，则∠bdc= ．
9．等腰中，ab=ac=13，的面积为60．求的内切圆的半径= ．
二、选择题。
1．半圆圆心在的斜边bc上，且半圆分别外切ab、ac于d、e，ab=4，ac=5，则半圆的半径r为（ ）
abcd、2．如图4，的内切圆⊙o分别切bc、ca、ab于d、e、f，如果∠a=，∠edf的度数为（ ）
abcd、3．一定有内切圆的四边形是（ ）
a、矩形b、菱形c、等腰梯形d、直角梯形。
4．等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（ ）
a、1:: b、1c、1:2:3d、1:2:
5．等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（ ）
abcd、三、解答题
1．如图所示，的内切圆⊙o切斜边ab于点d，切bc于点f，bo的延长交ac于点e．求证：．
2．如图所示，⊙o为的内切圆，切点分别是d、e、f，∠a:∠b:∠c=2:3:4．求∠edf:∠def:∠efd．
切线长定理。
知识要点】1、切线长的概念．
如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长．
2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
3、切线长定理的基本图形研究。
如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点．直线op交⊙o于点d，e，交ap于c
1)写出图中所有的垂直关系；
2)写出图中所有的全等三角形；
3)写出图中所有的相似三角形；
4)写出图中所有的等腰三角形．
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
典型例题】：
例1．如图所示，过半径为5cm的⊙o外一点p引⊙o的切线pa、pb，连结po交⊙o于点m，过m作⊙o的切线分别交pa、pb于点e、d，如果op=13cm，则的周长为
例2．已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径．求证：ac∥op．
例3．如图所示，在梯形abcd中，ab∥cd，ad=3，bc=2，半圆o与ad、dc、bc都相切，且圆心o在ab上，则ab= ．
例4．如图所示，已知过⊙o的直径ab的两端及ab上任一点e作⊙o的三条切线ad、bc和cd，它们分别交于d、c两点．求证：为定值．
例5．如图，已知ad是⊙o的直径，ab、dc是⊙o的两条切线，且ab＋cd=bc，求证：bc与⊙o相切。
典型练习】一、填空题。
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