圆切线问题典型问题。
例1. 已知半径为3的⊙o上一点p和圆外一点q，如果oq＝5，pq＝4，则pq和圆的位置关系是（ ）
a. 相交 b. 相切。
c. 相离 d. 位置不定。
例2. 在△abc中，∠c＝90°，∠b＝30°，o为ab上一点，ao＝m，⊙o的半径，问m在什么范围内取值时，ac与圆：
1） 相离；（2）相切；（3）相交。
例3. 已知：在△abc中，ad为∠bac的平分线，以c为圆心，cd为半径的半圆交bc的延长线于点e，交ad于点f，交ae于点m，且∠b＝∠cae，fe：fd＝4：3。
求证：af＝df；
例4. 已知⊙o中，ab是直径，过b点作⊙o的切线，连结co，若ad∥oc交⊙o于d，求证：cd是⊙o的切线。
例5. 如图所示，△abc为等腰三角形，o是底边bc的中点，⊙o与腰ab相切于点d。
求证：ac与⊙o相切。
点悟：显然ac与⊙o的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而ab与⊙o切于d点，可连结od，则od⊥ab。
例6. 已知⊙o的半径oa⊥ob，点p在ob的延长线上，连结ap交⊙o于d，过d作⊙o的切线ce交op于c，求证：pc＝cd。
例7. 在△abc中，∠a＝70°，点o是内心，求∠boc的度数。
圆切线问题典型问题答案。
例1 解：∵op＝3，pq＝4，oq＝5，∴，opq是直角三角形，且∠opq＝90°， pq⊥op。
即圆心o到pq的距离等于圆的半径。
∴pq和圆的位置关系相切，故选b。
点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。
解：如图所示，过o作od⊥ac垂足为d，，
（1）当，即，也即时，则ac与⊙o相离；
（2）当，即，也即时，ac与⊙o相切；
（3）当，即，也即时，ac与⊙o相交。
例3.证明：∵ad平分∠bac，∴∠bad＝∠dac。
∵∠b＝∠cae，∴∠bad＋∠b＝∠dac＋∠cae
∵∠ade＝∠bad＋∠b，∴∠ade＝∠dae，∴ea＝ed
∵de是半圆c的直径∴∠dfe＝90°∴af＝df
例4. 点悟：要证cd是⊙o的切线，须证cd垂直于过切点d的半径，由此想到连结od。
证明：连结od。
∵ad∥oc，∴∠cob＝∠a及∠cod＝∠oda
∵oa＝od，∴∠oda＝∠oad ∴∠cob＝∠cod
∵co为公用边，od＝ob
∴△cob≌△cod，即∠b＝∠odc∵bc是切线，ab是直径，∴∠b＝90°，∠odc＝90°，∴cd是⊙o的切线。
点拨：辅助线od构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
例5.点悟：显然ac与⊙o的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而ab与⊙o切于d点，可连结od，则od⊥ab。
证明：连结od、oa。过o作oe⊥ac，垂足为e。
∵ab＝ac，o为bc的中点， ∴bao＝∠cao
又∵ab切⊙o于d点，∴od⊥ab，又oe⊥ac， ∴oe＝od，∴ac与⊙o相切。
点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。
例6. 点悟：要证pc＝cd，可证它们所对的角等，即证∠p＝∠cdp，又oa⊥ob，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结od，则od⊥ce。
∴∠eda＋∠oda＝90° ∵oa⊥ob
∴∠a＋∠p＝90°，又∵oa＝od，∠oda＝∠a，∠p＝∠eda∵∠eda＝∠cdp，∴∠p＝∠cdp，∴pc＝cd
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
例7. 点悟：已知o是内心，由内心的概念可知ob、oc分别是∠abc、∠acb的平分线。
解：在△abc中，∠a＝70°，∵o是△abc的内心∴
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