基础巩固。
1.下列命题中，正确命题的个数为( )
若n1,n2分别是平面α,β的法向量，则n1∥n2α∥β若n1,n2分别是平面α,β的法向量，则α⊥βn1·n2=0;③若n是平面α的法向量，a所在的直线与α平行，则n·a=0;
若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。
a.1 b.2
c.3 d.4
答案：c解析：命题①中平面α,β可能平行，也可能重合；结合平面法向量的概念，易知命题②③④正确。故选c.
2.在空间直角坐标系o-xyz中，平面oab的法向量为n=(2,-2,1),已知p(-1,3,2),则点p到平面oab的距离d等于( )
a.4 b.2
c.3 d.1
答案：b解析：d==2.
3.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos=-,则l与α所成的角θ为( )
a.30° b.60°
c.120° d.150°
答案：a解析：∵cos=-,sin θ=cos|=.
又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ90°,∴30°.
4.已知长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=1,aa1=2,e是侧棱bb1的中点，则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为( )
a.60° b.90°
c.45° d.以上都不正确。
答案：b解析：∵e是bb1的中点且aa1=2,ab=bc=1,∠aea1=90°.
又在长方体abcd-a1b1c1d1中，ad⊥平面abb1a1,a1d1⊥ae.
因此ae⊥平面a1ed1.故所求角为90°.
5.如图所示，已知正方体abcd-a1b1c1d1,e,f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是( )
a.60° b.45°
c.30° d.90°
答案：b解析：以d为原点，分别以射线da,dc,dd1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则d(0,0,0),c(0,1,0),e,f,于是=(0,1,0).
cos<>=135°.
异面直线ef和cd所成的角是45°.
6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
a.75° b.60° c.45° d.30°
答案：c解析：如图，在四棱锥p-abcd中，过点p作po⊥平面abcd于点o,连接ao,则ao是ap在底面abcd上的射影，从而可知∠pao即为所求线面角。
∵ao=,pa=1,cos∠pao=.
故∠pao=45°,即所求线面角为45°.
7.在正方体abcd-a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd的夹角的余弦值为( )
a. b. c. d.
答案：b解析：以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1,则a1(0,0,1),e,d(0,1,0),于是=(0,1,-1),设平面a1ed的一个法向量为n1=(1,y,z),则解得故n1=(1,2,2).
平面abcd的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=.
故所求的夹角的余弦值为。
8.在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=aa1=2,ad=1,e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 .
答案：解析：以d为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则a(1,0,0),e(0,2,1),b(1,2,0),c1(0,2,2).
故cos<>=
9.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2,m,n分别是c1d1,cc1的中点，则直线b1n与平面bdm所成角的正弦值为 .
答案：解析：以d为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则b1(2,2,2),n(0,2,1),=2,0,1).
又m(0,1,2),d(0,0,0),b(2,2,0),则=(2,2,0),=0,1,2),可得平面bdm的一个法向量n=(2,-2,1),因为cos=,所以直线b1n与平面bdm所成角的正弦值是。
10.(2013·湖北黄石月考)在如图所示的正方体abcd-a1b1c1d中，过顶点b,d,c1作截面，则二面角b-dc1-c的平面角的余弦值是 .
答案：解析：取c1d的中点o,连接bo,co,则bo⊥c1d,co⊥c1d,即∠boc是二面角b-dc1-c的平面角。
设正方体的棱长为1,则co=,△bdc1为正三角形，∴ob=.
故cos∠boc=.
11.如图，在底面是矩形的四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd,e,f分别是pc,pd的中点，pa=ab=1,bc=2.
1)求证：ef∥平面pab;
2)求证：平面pad⊥平面pdc.
证明：以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,2,0),d(0,2,0),p(0,0,1),e,f,于是=(1,0,-1),=0,2,-1),=0,0,1),=0,2,0),=1,0,0),=1,0,0).
1)∵=即ef∥ab.
又ab平面pab,ef平面pab,ef∥平面pab.
2)∵·0,0,1)·(1,0,0)=0,=(0,2,0)·(1,0,0)=0,即ap⊥dc,ad⊥dc.
又ap∩ad=a,∴dc⊥平面pad.
dc平面pdc,∴平面pad⊥平面pdc.
12.如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd,pa与平面abd所成的角为60°,在四边形abcd中，∠adc=∠dab=90°,ab=4,cd=1,ad=2.
1)建立适当的坐标系，并写出点b,p的坐标；
2)求异面直线pa与bc所成的角的余弦值。
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，∠adc=∠dab=90°,ab=4,cd=1,ad=2,a(2,0,0),c(0,1,0),b(2,4,0).
由pd⊥平面abcd,得∠pad为pa与平面abcd所成的角，∴∠pad=60°.
在rt△pad中，由ad=2,得pd=2,因此点p的坐标为(0,0,2).
2)∵=2,0,-2),=2,-3,0),cos<>
pa与bc所成的角的余弦值为。
13.(2013·重庆，理19)如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd,bc=cd=2,ac=4,∠acb=∠acd=,f为pc的中点，af⊥pb.
1)求pa的长；
2)求二面角b-af-d的正弦值。
解：(1)如图，连接bd交ac于o,因为bc=cd,即△bcd为等腰三角形。
又ac平分∠bcd,故ac⊥bd.以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz,则oc=cdcos=1,而ac=4,得ao=ac-oc=3,又od=cdsin,故a(0,-3,0),b(,0,0),c(0,1,0),d(-,0,0).
因pa⊥底面abcd,可设p(0,-3,z),由f为pc边中点，f.
又=(,3,-z),因af⊥pb,故·=0,即6-=0,z=2(舍去-2),所以||=2.
2)由(1)知=(-3,0),=3,0),=0,2,),设平面fad的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面fab的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1·=0,n1·=0,得。
因此可取n1=(3,,-2).
由n2·=0,n2·=0,得故可取n2=(3,-,2).
从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为。
cos=,故二面角b-af-d的正弦值为。
拓展延伸。14.如图甲，在直角梯形abcd中，ab∥cd,∠bad=90°,ab=2,ad=3,cd=1,点e,f分别在ad,bc上，且ae=ad,bf=bc.
现将此梯形沿ef折至使ad=的位置(如图乙).
1)求证：ae⊥平面abcd;
2)求点b到平面cdef的距离；
3)求直线ce与平面bcf所成角的正弦值。
1)证明：由题意知ae=1,de=2,ad=,ae2+ad2=de2,∴∠ead=90°,即ea⊥ad.
又ea⊥ab,ab∩ad=a,∴ae⊥平面abcd.
2)解：作ak⊥de于点k.
ae=ad,bf=bc,∴ab∥ef.
又ab平面cdef,ef平面cdef,∴ab∥平面cdef.
因此点b到平面cdef的距离即为点a到平面cdef的距离。∵ef⊥ae,ef⊥ed, ed∩ea=e,ef⊥平面aed.∵ak平面aed,∴ak⊥ef.
又ak⊥de,de∩ef=e,∴ak⊥平面cdef.
因此ak的长即为点b到平面cdef的距离。
在rt△ade中，易求得ak=,故点b到平面cdef的距离为。
3)解：以点a为坐标原点，ad,ab,ae所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则b(0,2,0),c(,1,0),e(0,0,1),f,(,1,0),=1,1),设平面bcf的法向量n=(x,y,z),由得n=.
设直线ce与平面bcf所成的角为α,则sin α=
故直线ce与平面bcf所成角的正弦值为。
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