基础巩固。
1.(2013·课标全国ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
a. b. c. d.
答案：b解析：由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为。
2.在第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上，有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车。假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
a. b. c. d.
答案：d解析：1,3,4,5,8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的，故所求概率为p=.
3.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( )
a. b. c. d.
答案：d解析：由题意可知正方体被切割为27块，六个面均没有涂色的只有最中间的那一块，则其概率为。
4.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )
a. b. c. d.
答案：d解析：基本事件为(1,1),(1,2),…1,8),(2,1),(2,2),…8,8),共64种。
两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率为。
5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点p的横、纵坐标，则点p在直线x+y=5下方的概率为( )
a. b. c. d.
答案：a解析：点p在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能，故其概率为。
6.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为α,则α∈的概率为( )
a. b. c. d.
答案：d解析：由α∈,得cos α≥0,从而a·b=m-n≥0.
当m=1时，n=1;当m=2时，n=1,2;当m=3时，n=1,2,3;…;当m=6时，n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为。
7.已知a=,b=,则a∩b=b的概率是( )
a. b. c. d.1
答案：c解析：∵a∩b=b,∴b可能为，
当b=时，a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.
当b=时，满足条件的a,b为a=2,b=1.
当b=,时，没有满足条件的a,b.
当b=时，满足条件的a,b为a=3,b=2.
当b=,时，没有满足条件的a,b.
故a∩b=b的概率为。
8.(2013·重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 .
答案：解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：
甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种。
若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为。
9.(2013·课标全国ⅱ,文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 .
答案：0.2
解析：该事件基本事件空间ω=共有10个，记a=“其和为5”=有2个，故p(a)==0.2.
10.曲线c的方程为=1,其中m,n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，记事件a为“方程=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么p(a)=
答案：解析：试验中所含基本事件个数为36;若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m>n,又只剩下一半情况，即有15种，因此p(a)=.
11.盒中有3只灯泡，其中2只是**，1只是次品。
1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是**所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为**，一个为次品所包含的基本事件总数；
2)从中一次任取出2只，求2只都是**的概率。
解：(1)将灯泡中2只**记为a1,a2,1只次品记为b1,则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9,连续2次取出的都是**所包含的基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),共4个基本事件；
两次取出的一个为**，一个为次品所包含的基本事件为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共4个基本事件。
2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3,即a1a2,a1b1,a2b1,“2只都是**”的基本事件数是1,所以其概率为。
12.一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，今随机地先后抽取2个小球，如果：
1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的。
求2个小球上的数字为相邻整数的概率。
解：随机抽取2个小球，记事件a为“2个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共18种。
1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能，y有9种可能，共有可能结果10×9=90种，因此事件a的概率为。
2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果10×10=100种，因此，事件a的概率为。
13.(2013·湖南，文18)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量y(单位：
kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率。
解：(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株。列表如下：
所种作物的平均年收获量为。
2)由(1)知，p(y=51)=,p(y=48)=.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为。
p(y≥48)=p(y=51)+p(y=48)=.
拓展延伸。14.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b.
1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率。
解：(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,则基本事件总数为6×6=36.
直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是=1,∴a2+b2=25.
a,b∈,满足条件的情况只有a=3,b=4,或a=4,b=3两种情况。
故直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是。
2)∵三角形的一边长为5,当a=1时，b=5,即(1,5,5),共1种情况；
当a=2时，b=5,即(2,5,5),共1种情况；
当a=3时，b=3,5,即(3,3,5),(3,5,5),共2种情况；
当a=4时，b=4,5,即(4,4,5),(4,5,5),共2种情况；
当a=5时，b=1,2,3,4,5,6,即(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5),共6种情况；
当a=6时，b=5,6,即(6,5,5),(6,6,5),共2种情况，故满足条件的不同情况共有14种，故三条线段能围成等腰三角形的概率为。
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