基础巩固。
1.已知f1,f2是椭圆=1的两个焦点，过点f2的直线交椭圆于a,b两点。在△af1b中，若有两边之和是10,则第三边的长度为( )
a.6 b.5 c.4 d.3
答案：a解析：根据椭圆的定义，知△af1b的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.
2.椭圆+y2=1(a>4)的离心率的取值范围是( )
a. b.c. d.
答案：d解析：∵e=,a>4,∴3.离心率为，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( )
a.+y2=1
b.+y2=1或x2+=1
d.+y2=1或=1
答案：d解析：当a=2时，由e=,得c=,b=1,所求椭圆方程为+y2=1;
当b=2时，由e=,得a2=16,b2=4,所求椭圆方程为=1.
4.已知椭圆=1的左、右焦点分别为f1,f2,点p在椭圆上，若p,f1,f2是一个直角三角形的三个顶点，p为直角顶点，则点p到x轴的距离为( )
a. b.3 c. d.
答案：c解析：由题意。
从而|pf1||pf2|=18.
又∵×18=·2·h(其中h为p到x轴的距离),∴h=.
5.椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
a. b.c. d.-2
答案：b解析：因为a,b为左，右顶点，f1,f2为左，右焦点，所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c.
又因为|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列，所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.
所以离心率e=,故选b.
6.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为f,右顶点为a,点b在椭圆上，且bf⊥x轴，直线ab交y轴于点p.若=2,则椭圆的离心率是( )
a. b.c. d.
答案：d解析：左焦点f(-c,0),右顶点a(a,0),不妨设点b在第二象限，则b,由=2,得0-a=2(-c-0),所以e=.
7.若ab为过椭圆=1中心的弦，f1为椭圆的焦点，则△f1ab面积的最大值为( )
a.6 b.12
c.24 d.48
答案：b解析：由椭圆的标准方程可知a=5,b=4,则c==3.
如图所示，由于，根据椭圆的对称性可知，当且仅当△bof1面积取最大值时，取得最大值，这时b为短轴的端点，即的最大值为c·b=×3×4=6.故△f1ab面积的最大值为12.
8.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 .
答案：(0,1)
解析：椭圆方程化为=1.
该椭圆焦点在y轴上，则》2,即k<1.
又k>0,∴09.椭圆γ:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,焦距为2c.
若直线y=(x+c)与椭圆γ的一个交点m满足∠mf1f2=2∠mf2f1,则该椭圆的离心率等于 .
答案：-1解析：∵由y=(x+c)知直线的倾斜角为60°,∠mf1f2=60°,∠mf2f1=30°.
∠f1mf2=90°.
|mf1|=c,|mf2|=c.
又|mf1|+|mf2|=2a,c+c=2a,即e=-1.
10.(2013·吉林阶段检测)已知椭圆c:=1(a>b>0)的离心率为，过右焦点f且斜率为k(k>0)的直线与椭圆c相交于a,b两点。若=3,则k= .
答案：解析：根据已知，可得a2=c2,则b2=c2,故椭圆方程为=1,即3x2+12y2-4c2=0.
设直线的方程为x=my+c,代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0.
设a(x1,y1),b(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据韦达定理y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2代入，得y2=,-3=-,故9m2=m2+4.
故m2=,从而k2=2,k=±.又k>0,故k=.
11.如图，f1,f2分别是椭圆c:=1(a>b>0)的左、右焦点，a是椭圆c的顶点，b是直线af2与椭圆c的另一个交点，∠f1af2=60°.
1)求椭圆c的离心率；
2)已知△af1b的面积为40,求a,b的值。
解：(1)由题意可知，△af1f2为等边三角形，a=2c,所以e=.
2)方法一：a2=4c2,b2=3c2.
直线ab的方程可为y=-(x-c).
将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得b.
所以|ab|=·c.
由|af1|·|ab|sin∠f1ab=a·c·a2=40,解得a=10,b=5.
方法二：设|ab|=t.
因为|af2|=a,所以|bf2|=t-a.
由椭圆定义|bf1|+|bf2|=2a,可知|bf1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°,可得t=a.
由a·a·a2=40,知a=10,b=5.
12.若椭圆=1的焦点在x轴上，过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为a,b,直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程。
解：显然x=1是一条切线，且过切点a(1,0),设另一条切线方程为y-=k(x-1),即2kx-2y+1-2k=0.
由=1,解得k=-.
因此圆的切线方程为3x+4y-5=0.
解得b.进一步求得过a(1,0)与b两点的直线方程为y=-2x+2.
令x=0,得y=2.
故在椭圆方程=1中，b=2,c=1,a2=5.
因此椭圆方程为=1.
13.直线y=kx+m(m≠0)与椭圆w:+y2=1相交于a,c两点，o是坐标原点。
1)当点b的坐标为(0,1),且四边形oabc为菱形时，求ac的长；
2)当点b在w上且不是w的顶点时，证明：四边形oabc不可能为菱形。
解：(1)因为四边形oabc为菱形，所以ac与ob相互垂直平分。
所以可设a,代入椭圆方程得=1,即t=±.所以|ac|=2.
2)假设四边形oabc为菱形。
因为点b不是w的顶点，且ac⊥ob,所以k≠0.
由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设a(x1,y1),c(x2,y2),则=-=k·+m=.所以ac的中点为m.
因为m为ac和ob的交点，且m≠0,k≠0,所以直线ob的斜率为-.
因为k·≠-1,所以ac与ob不垂直。
所以四边形oabc不是菱形，与假设矛盾。
所以当点b不是w的顶点时，四边形oabc不可能是菱形。
拓展延伸。14.已知椭圆c1:+y2=1,椭圆c2以c1的长轴为短轴，且与c1有相同的离心率。
1)求椭圆c2的方程；
2)设o为坐标原点，点a,b分别在椭圆c1和c2上，=2,求直线ab的方程。
解：(1)由已知可设椭圆c2的方程为=1(a>2),其离心率为，故，则a=4,故椭圆c2的方程为=1.
2)方法一：a,b两点的坐标分别记为(xa,ya),(xb,yb),由=2及(1)知，o,a,b三点共线且点a,b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,所以。
将y=kx代入=1中，得(4+k2)x2=16,所以。
又由=2,得=4,即，解得k=±1,故直线ab的方程为y=x或y=-x.
方法二：a,b两点的坐标分别记为(xa,ya),(xb,yb),由=2及(1)知，o,a,b三点共线且点a,b不在y轴上，因此可设直线ab的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,所以。
由=2,得，将代入=1中，得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1,故直线ab的方程为y=x或y=-x.
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