1.3+33+333+3 333+…+等于( )
a. b.c. d.
答案：a解析：∵×10n-1),原式=[(10-1)+(102-1)+…10n-1)]
[(10+102+…+10n)-n]
2.等差数列的通项公式an=2n-1,若bn=,的前n项和为sn,则sn等于( )
a. b.c. d.以上都不对。
答案：b解析：∵an=2n-1,bn=,故sn=
3.设数列的前n项和为sn,则对任意正整数n,sn=(
a. b.c. d.
答案：d解析：因为数列是首项与公比均为-1的等比数列，所以sn=.
4.已知数列的前n项和sn=n2-6n,则数列的前n项和tn等于( )
a.6n-n2
c. d.答案：c
解析：∵由sn=n2-6n可得是等差数列，且首项为-5,公差为2,于是an=-5+(n-1)×2=2n-7,当n≤3时，an<0;当n>3时， an>0.
故tn=5.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
a.0 b.100 c.-100 d.10 200
答案：b解析：由题意，a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…99+100)+(101+100)=-1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.
6.设数列是首项为1,公比为3的等比数列，把中的每一项都减去2后，得到一个新数列，的前n项和为sn,对任意的n∈n*,下列结论正确的是( )
且sn=(3n-1)
且sn=(3n-1)
且sn=(3n-1)-2n
且sn=(3n-1)-2n
答案：c解析：∵数列是首项为1,公比为3的等比数列，∴数列的通项公式an=3n-1,则依题意得，数列的通项公式为bn=3n-1-2.
于是bn+1=3n-2,3bn=3(3n-1-2)=3n-6.
因此bn+1=3bn+4.
故数列的前n项和为。
sn=(1-2)+(31-2)+(32-2)+(33-2)+…3n-1-2)=(1+31+32+33+…+3n-1)-2n=-2n=(3n-1)-2n.
7.对于数列，定义数列为数列的“差数列”,若a1=2,的“差数列”的通项公式为2n,则数列的前n项和sn= .
答案：2n+1-2
解析：∵an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…a2-a1)+a1
2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2
2n-2+2=2n.∴sn==2n+1-2.
8.已知数列=的前n项和sn= .
答案：解析：∵由已知条件可得数列的通项公式为。
an=,bn==4.故sn=4
9.已知数列的通项公式为an=log2(n∈n*),设其前n项和为sn,则使sn<-5成立的自然数n的最小值是 .
答案：63解析：方法一：
依题意有an=log2=log2(n+1)-log2(n+2),因此sn=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2).
令1-log2(n+2)<-5,解得n>62.
故使sn<-5成立的自然数n有最小值63.
方法二：因为sn=log2+log2+…+log2
log2=log2,所以由sn<-5得log2<-5,解得n>62.
故使sn<-5成立的自然数n有最小值63.
10.已知等差数列的前n项和为sn,且a3=5,s15=225.
1)求数列的通项公式；
2)设bn=+2n,求数列的前n项和tn.
解：(1)设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意，得。
解得故an=2n-1.
2)∵bn=+2n=·4n+2n,tn=b1+b2+…+bn
(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
+n2+n=·4n+n2+n-.
11.已知数列的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意的n∈n*满足关系式2sn=3an-3.
1)求数列的通项公式；
2)设数列的通项公式是bn=,前n项和为tn,求证：对于任意的正数n,总有tn<1.
1)解：由已知得(n≥2).
于是2(sn-sn-1)=2an=3an-3an-1,即an=3an-1(n≥2).
因此数列为等比数列，且公比q=3.
又当n=1时，2a1=3a1-3,即a1=3.故an=3n.
2)证明：∵bn=,tn=b1+b2+…+bn
12.已知数列的前n项和为sn,且a1=1,an+1=sn(n=1,2,3,…)
1)求数列的通项公式；
2)当bn=lo(3an+1)时，求证：数列的前n项和tn=.
(1)解：由已知得(n≥2),得到an+1=an(n≥2).
数列是以a2为首项，以为公比的等比数列。
又a2=s1=a1=,∴an=a2×(n≥2).
an=2)证明：bn=lo(3an+1)= lo=n.
tn=+…
13.在等比数列中，a2a3=32,a5=32.
1)求数列的通项公式；
2)设数列的前n项和为sn,求s1+2s2+…+nsn.
解：(1)设等比数列的公比为q,依题意得解得a1=2,q=2.
故an=2·2n-1=2n.
2)∵sn为数列的前n项和，sn==2(2n-1),s1+2s2+…+nsn=2[(2+2·22+…+n·2n)-(1+2+…+n)]=2(2+2·22+…+n·2n)-n(n+1),设tn=2+2·22+…+n·2n,①
则2tn=22+2·23+…+n·2n+1,②
-②,得。tn=2+22+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,∴tn=(n-1)2n+1+2.
s1+2s2+…+nsn=2[(n-1)2n+1+2]-n(n+1)
(n-1)2n+2+4-n(n+1).
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