课时作业(三十七) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题。
一、选择题。
1．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
a．2b．3
c．4 d．5
解析：由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0答案：c
2．(2016·北京卷)若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
a．0 b．3
c．4 d．5
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点a(1,2)时，z最大，zmax＝4.故选c.
答案：c3．(2017·银川二模)设z＝x＋y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )
a．－3 b．－2
c．－1 d．0
解析：解法一作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z＝x＋y经过点c(k，k)时，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点b(－6,3)时，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，故选a.
解法二画出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，易知k≥0，o(0,0)，b(－2k，k)，c(k，k)，分别代入z＝x＋y得z的值为0，－k,2k.故z＝x＋y的最大值为2k，最小值为－k，则2k＝6，k＝3，所以z的最小值为－3.
解法三先作出所表示的平面区域，再作出直线x＋y＝6，则直线x＋y＝6与直线y＝x的交点为(3,3)，结合题意易知k＝3.故不等式组表示的平面区域的顶点分别为(0,0)，(6,3)，(3,3)，分别代入z＝x＋y得z的值为0，－3,6，所以z的最小值为－3.
答案：a4．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
a．a≥ b．0c．1≤a≤ d．0解析：作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1、l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选d.
答案：d5．(2017·福建漳州八校联考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
a．－1 b．1
c. d．2
解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．
当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过a点的虚线位置时，m取最大值．解方程组得a点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1，故选b.
答案：b6．(2016·山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
a．4 b．9
c．10 d．12
解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点a(3，－1)到原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选c.
答案：c二、填空题。
7．(2016·全国卷ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为___
解析：方法一作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点a(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
方法二因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.
答案：－58．(2017·山东三校联考)已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，求a的取值范围为___
解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－ a<0，即0答案：
(0，)
9．(2017·吉安质检)若实数x，y满足，求z＝的最小值为___
解析：法一作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝＝1＋，设k＝，则k的几何意义为区域内的点与定点d(2，－2)连线的斜率，数形结合可知，直线ad的斜率最小，由，得，即a(1,2)，此时直线ad的斜率kad＝＝－4，则zmin＝1＋kad＝1－4＝－3.
法二易知平面区域的顶点坐标分别为(0,1)，(1,2)，(1,2)，分别代入z＝得z的值为－，－3，－，故z＝的最小值为－3.
答案：－3三、解答题。
10．已知关于x，y的二元一次不等式组求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
解析：作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的a点时，截距z－1最小，即z最小，解方程组得a(－2，－3)，zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.
z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
11．(1)(2015·全国卷ⅰ)若x，y满足约束条件求的最大值；
2)已知实数x，y满足不等式组求z＝x2＋y2－10y＋25的最大值．
解析：(1)作出可行域如图中阴影部分所示．由图可知，在点a(1,3)处，取得最大值3.
2)作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义表示可行域中的点(x，y)到定点m(0,5)的距离的平方．结合图象易知点c到点m的距离最大，由得c(7,9)，则zmax＝(7－0)2＋(9－5)2＝65.
12．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3 600克、咖啡2 000克、糖3 000克，甲种饮料每杯能获利润0.7元，乙种饮料每杯能获利润1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
解析：设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元．
由条件知：z＝0.7x＋1.2y，变量x、y满足。
作出不等式组所表示的可行域如图所示．
作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上方平移至经过a点的位置时，z＝0.7x＋1.2y取最大值．
由方程组。得a点坐标(200,240)．
即应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．
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