一、选择题。
1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为( )
a．±b．±5
c．3 d．±3
解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5.
答案：b2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
a．1 b．2
c．4 d．4
解析：依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4.
答案：c3．已知直线l经过点m(2,3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长时，直线l的方程为( )
a．x－2y＋4＝0 b．3x＋4y－18＝0
c．y＋3＝0 d．x－2＝0
解析：∵圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长，∴直线l经过圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l经过点m(2,3)，∴直线l的方程为x－2＝0.
答案：d4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为c的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于a、b两点，且△abc为等边三角形，则实数a的值为( )
a．4＋b．4＋
c．4±d．4±
解析：易知△abc是边长为2的等边三角形．故圆心c(1，a)到直线ab的距离为。则＝，解得a＝4±.
答案：c5．过点p(3,1)作圆c：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为( )
a．2x＋y－3＝0 b．2x－y－3＝0
c．4x－y－3＝0 d．4x＋y－3＝0
解析：如图所示，由题意知：ab⊥pc，kpc＝，∴kab＝－2，∴直线ab的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案：a6．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
a.，－4 b．－，4
c.，4 d．－，4
解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案：a二、填空题。
7．在平面直角坐标系xoy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为___
解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.
答案：8．已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆c所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为___
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．过点p(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为a，b，则。
解析：由题意，圆心为o(0,0)，半径为1.如图所示．∵p(1，)，pa⊥x轴，pa＝pb＝.
∴poa为直角三角形，其中oa＝1，ap＝，则op＝2，∴∠opa＝30°，∴apb＝60cos∠apb＝××cos60°＝.
答案：10．在平面直角坐标系xoy中，以点(2，－3)为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈r)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。
解析：由2mx－y－2m－1＝0，得2m(x－1)－(y＋1)＝0，所以直线过定点(1，－1)，所以圆心到直线的最大距离为，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
三、解答题。
11．已知点p(＋1,2－)，点m(3,1)，圆c：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
1)求过点p的圆c的切线方程；
2)求过点m的圆c的切线方程，并求出切线长．
解：由题意得圆心c(1,2)，半径r＝2.
1)∵(1－1)2＋(2－－2)2＝4，点p在圆c上．
又kpc＝＝－1，切线的斜率k＝－＝1.
过点p的圆c的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，点m在圆c外部．
当过点m的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点c(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心c到切线的距离。
d＝＝r＝2，解得k＝.
切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点m的圆c的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
|mc|＝＝过点m的圆c的切线长为。
12．如图，已知以点a(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点b(－2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点，q是mn的中点，直线l与l1相交于点p.
1)求圆a的方程；
2)当|mn|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆a的半径为r.
由于圆a与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，r＝＝2.
圆a的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．即kx－y＋2k＝0.
连接aq，则aq⊥mn.
|mn|＝2，|aq|＝＝1，则由|aq|＝＝1，得k＝，直线l：3x－4y＋6＝0.
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
1．(2017·福建福州一模)已知圆o：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
a．(－3，3)
b．(－3)∪(3，＋∞
c．(－2，2)
d．[－3，3]
解析：由圆的方程可知圆心为o(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d答案：a
2．(2017·山东德州一模)已知点a(－2,0)，b(2,0)，若圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)上存在点p(不同于点a，b)使得pa⊥pb，则实数r的取值范围是( )
a．(1,5) b．[1,5]
c．(1,3] d．[3,5]
解析：根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以ab为直径的圆和圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交，而以ab为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心距为3，所以|r－2|<3<|r＋2|，解得1答案：a
3．(2016·新课标全国卷ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于a，b两点，过a，b分别作l的垂线与x轴交于c，d两点，若|ab|＝2，则|cd
解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|ab|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|cd|＝＝4.
答案：44．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点a(2,4)．
1)设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x＝6上，求圆n的标准方程；
2)设平行于oa的直线l与圆m相交于b，c两点，且bc＝oa，求直线l的方程．
解：圆m的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心m(6,7)，半径为5.
1)由圆心n在直线x＝6上，可设n(6，y0)．因为圆n与x轴相切，与圆m外切，所以0(2)因为直线l∥oa，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心m到直线l的距离d＝＝.
因为bc＝oa＝＝2，而mc2＝d2＋()2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
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