2023年江苏省镇江中学高三数学寒假作业（一）
班级姓名成绩
一、填空题（每题5分，共14题，满分70分）
1．设，则。
2．已知函数在区间上是增函数，则实数a的范围是。
3．函数在上有最大值5，则实数
4．已知向量，则x的值等于。
5．函数值域是。
6．命题“”的否定为。
7．将函数的图象沿直线平移个单位，得到函数。
的图象，则的表达式为。
8．设是方程的解，且∈,则
k9．右图给出的是计算的。
值的一个程序框图，其中判断框内应填入。
的条件是。10．已知集合，若。
则实数***
11．在△abc中，分别是所对的边， 若。则。
12．在直角坐标系中，圆上的点到直线的距离的最大值是 ；
13．对于函数，定义域为，以下命题正确的是（写出命题的序号） ；
若，则是上的偶函数；
若，则是上的递增函数；
若，则在处一定有极大值或极小值；
若，都有成立，则的图象关于直线对称。
14．定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（a）、（b）所对应的运算结果可能是。
（1） （2） （3） （4） （a） （b）
二．解答题（共6题，满分90分）
15（本小题满分14分）已知双曲线，求以双曲线的顶点为焦点的抛物线的标准方程。
16．（本题满分15分）已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标x∈a，y∈a。计算：
1）点正好在第二象限的概率；
2）点不在x轴上的概率；
3）点正好落在区域上的概率。
17．（本小题满分15分）已知数列，其中是首项为公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列．
1)若，求；
2)试写出关于的关系式，若，求的取值范围。
18．（本小题满分15分）已知函数为偶函数，且其图象上相邻两个最大值点之间的距离为。
1）求函数的表达式。（2）若，求的值。
19、（本小题满分15分）
如图，棱锥p—abcd的底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad=2，bd=.
ⅰ）求证：bd⊥平面pac；
ⅱ）求二面角p—cd—b的大小；
ⅲ）求点c到平面pbd的距离。
20．（本小题满分16分）两个二次函数与的图象有唯一的公共点，1）求的值；
2）设，若在上是单调函数，求的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数。
2023年江苏省镇江中学高三数学寒假作业（一）参***。
一、填空题（每题5分，共14题，满分70分）
1、；2、 a<0 ；3、；4、；5
6、；7、；8、 k=2 ；9、；
三．解答题（共6题，满分80分）
15（本小题满分12分）
解： 由得 ……4分。
所求的抛物线方程为8分。
所求的抛物线方程为12分。
16．（本题满分14分）
解：满足条件的点共有个1分。
1）正好在第二象限的点有。
3分。故点正好在第二象限的概率p14分。
2）在x轴上的点有6分。
故点不在x轴上的概率p2=18分。
3）在所给区域内的点有10分。
故点在所给区域上的概率11分。
答：（1）点正好在第二象限的概率是，（2）点不在x轴上的概率是，（3）点在所给区域上的概率14分。
17．（本小题满分12分）
解： 解(ⅰ)由已知得， ,3分。
6分。当时8分。
则，即。所以10分。
所以12分。
18．（本小题满分14分）
解：（i）∵为偶函数1分。
即恒成立 又3分。
又其图象上相邻两个最大值点之间的距离为。
6分。7分。
（ii）∵原式………9分。
11分。又13分。
即， 故原式14分。
19、（本小题满分12分）
方法一：证：（ⅰ在rt△bad中，ad=2，bd=，
ab=2，abcd为正方形，因此bd⊥ac
pa⊥平面abcd，bd平面abcd，bd⊥pa
又∵pa∩ac=a
bd⊥平面pac
解：（ⅱ由pa⊥面abcd，知ad为pd在平面abcd的射影，又cd⊥ad，
cd⊥pd，知∠pda为二面角p—cd—b的平面角。
又∵pa=ad，∠pda=450 .
ⅲ）∵pa=ab=ad=2 ∴pb=pd=bd=
设c到面pbd的距离为d，由，有。
即，得。方法二：
证：（ⅰ建立如图所示的直角坐标系，则a（0，0，0）、d（0，2，0）、p（0，0，2）.
在rt△bad中，ad=2，bd=，
ab=2.b（2，0，0）、c（2，2，0），
即bd⊥ap，bd⊥ac，又ap∩ac=a，bd⊥平面pac
解：（ⅱ由（ⅰ）得。
设平面pcd的法向量为，则，即，∴
故平面pcd的法向量可取为。
pa⊥平面abcd，∴为平面abcd的法向量。
设二面角p—cd—b的大小为，依题意可得， =450 .
ⅲ）由（ⅰ）得。
设平面pbd的法向量为，则，即，∴x=y=z 故平面pbd的法向量可取为，∴c到面pbd的距离为。
20．（本小题满分14分）
解：（1）由已知得化简得2分。
且 即有唯一解3分。
所以 即5分。
消去得，解得7分。
9分。10分。
若在上为单调函数，则在上恒有或成立。
因为的图象是开口向下的抛物线，所以时在上为减函数12分。
所以，解得。
即时，在上为减函数14分。
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