常州市第一中学2012高三数学作业 2012-5-22
班级___姓名。
1．已知函数则。
2．已知集合，，则。
3．已知直线l，m与平面满足，，则正确的是___2）__
(1)．且2)．且。
(3)．且4)．且。
4．函数在区间恰有个零点，则的取值范围为。
5．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为。
6．已知为锐角，则“且”是“”的___充分必要___条件。
7．设向量a，b，c满足|a||b|，ab，( a—c) (b—c)，则|c|的最大值为。
8．如图的倒三角形数阵满足：（1）第行的，个数，分别。
是，，，2）从第二行起，各行中的。
每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有行。
问：当时，第行的第个数是。
9．在高等数学中有如下定义：函数的导数叫作函数的一阶导数，类似地，把的导数叫作函数的二阶导数．现若有函数在处取得极大值，则的范围为。
10．已知实数x、y满足，若不等式恒成立，则实数a的最小值。
11．问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解。仿照此解法可得到不等式：的解是 ．
12．已知函数， ，给出下列三个命题：
函数的图像关于x轴上某点成中心对称；
存在实数p和q，使得对于任意的实数x恒成立；
关于x的方程的解集可能为．
则是真命题的有。
13．已知是的三个内角，且满足，设的最大值为．
ⅰ）求的大小；
ⅱ）当时，求的值．
解析】ⅰ）由题设及正弦定理知，，即．
由余弦定理知，
因为在上单调递减，所以的最大值为． …7分。
ⅱ）设， ①
由（ⅰ）及题设知． ②
由①2+②2得，．
又因为，所以，即17分。
14．设数列的前项和为，已知为常数，），
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．
ⅰ）由题意，知即解之得 …2分。
当时，，②②得4分。
又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以7分。
ⅱ）由②得，，由，得。
即10分。即，因为，所以，所以，且，因为，所以或或12分。
当时，由得，，所以；
当时，由得，，所以或；
当时，由得，，所以或或，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：
1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，2）、（3，3）、（3，414分。
16．某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品， 该工艺品由一个圆柱和一。
个半球组成， 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为， 工艺品的体积为。
设圆柱的底面直径为， 工艺品的表面积为。
1) 试写出关于的函数关系式；
2) 怎样设计才能使工艺品的表面积最小？
16．【解】(1) 由题知圆柱的底面半径为， 半球的半径为。 设圆柱的高为。
因为工艺品的体积为，
所以工艺品的表面积为。
由且得。所以关于的函数关系式是。
2) 由(1)知，
令得。当时，关于是单调减函数；
当时，关于是单调增函数。
当时，时取得最小值， 此时。
答： 按照圆柱的高为， 圆柱的底面半径为， 半球的半径为设计， 工艺品的。
表面积最小， 为。
17．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为a、b，右焦点为f，且，．
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）过椭圆的右焦点f作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点m、n，直线l2与椭圆分别交于点p、q，且，试判断直线pq与mn是否垂直。
ⅰ）设椭圆的方程为，则由题意知，又∵
即∴，故椭圆的方程为4分。
ⅱ）设．则由题意：．即：
整理得：即．
所以． (注：证明，用几何法同样得分)
18．已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
ⅰ）设，，求函数在上的最大值；
ⅱ）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
ⅰ），函数的图像关于直线对称，则．
直线与轴的交点为，，且，即，且，解得，．
则． 故，
其图像如图所示．当时，，根据图像得：
ⅰ）当时，最大值为；
ⅱ）当时，最大值为；
ⅲ）当时，最大值为8分。
ⅱ）方法一：，则，， 当时，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时，，，
又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是14分。
方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须，
又当函数有意义时，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是14分。
方法三：， 的定义域是，要使恒有意义，必须恒成立，，即或． ①
由得，即对恒成立，令，的对称轴为，则有或或。
解得． ②综合①、②实数的取值范围是14分。
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